Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz dla każdej liczby x z tego przedziału f'(x)>0, to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b). Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz dla każdej liczby x z tego przedziału f'(x)<0, to funkcja f jest malejąca w przedziale (a, b). Uwaga Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale <a, b> oraz: funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b), to jest również rosnąca w przedziale <a, b>.  funkcja f jest malejąca w przedziale (a, b), to jest również malejąca w przedziale <a, b>.

---

a)

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:

$f\left(x\right)=-x^4-\frac{7}{3}{x}^3-x^2+x+6,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f i badamy jej znak:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[-x^4-\frac{7}{3}{x}^3-x^2+x+6\right]{}^{\prime }=-4x^3-\frac{7}{3}\cdot 3x^2-2x+1=-4x^3-7x^2-2x+1$

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-4x^3-7x^2-2x+1,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy miejsce zerowe i szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = f'(x). 

$-4x^3-7x^2-2x+1=0$

$-4x^3-4x^2-3x^2-3x+x+1=0$  

$-4x^2\left(x+1\right)-3x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=0$  

$\left(x+1\right)\left(-4x^2-3x+1\right)=0$  

$\left(x+1\right)\left(-4x^2-4x+x+1\right)=0$  

$\left(x+1\right)\left[-4x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\right]=0$  

${\left(x+1\right)}^2\left(-4x+1\right)=0$  

$x+1=0\vee -4x+1=0$  

$x=-1x=\frac{1}{4}$  

szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = f'(x) (pamiętając, że liczba -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym)

korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,\frac{1}{4}\right)$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(\frac{1}{4},+\infty \right)$  

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R. 

Zatem otrzymujemy, że funkcja f jest 

• rosnąca w przedziale   $(-\infty ,\frac{1}{4}⟩;$  
• malejąca w przedziale  $⟨\frac{1}{4},+\infty ).$  

---

b)

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{4}x,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f i badamy jej znak:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{4}x\right]{}^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot 4x^3-\frac{1}{3}\cdot 3x^2-\frac{1}{8}\cdot 2x+\frac{1}{4}=$

$=x^3-x^2-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$   

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^3-x^2-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4},x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy miejsce zerowe i szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = f'(x). 

$x^3-x^2-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}=0$

$x^2\left(x-1\right)-\frac{1}{4}\left(x-1\right)=0$  

$\left(x-1\right)\left(x^2-\frac{1}{4}\right)=0$  

$\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=0$  

$x=1\vee x=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{2}$    

szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = f'(x)

korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  
  
  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},1\right)$  

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R. 

Zatem otrzymujemy, że funkcja f jest 

• rosnąca w każdym z przedziałów   $⟨-\frac{1}{2},\frac{1}{2}⟩,⟨1,+\infty )$  
• malejąca w każdym z przedziałów  $(-\infty ,-\frac{1}{2}⟩,⟨\frac{1}{2},1⟩.$  

---

c)

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{5}{x}^5+x^4-x^3-2,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f i badamy jej znak:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[-\frac{1}{5}{x}^5+x^4-x^3-2\right]{}^{\prime }=-\frac{1}{5}\cdot 5x^4+4x^3-3x^2=$

$=-x^4+4x^3-3x^2$   

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-x^4+4x^3-3x^2,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy miejsce zerowe i szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = f'(x). 

$-x^4+4x^3-3x^2=0$

$x^2\left(-x^2+4x-3\right)=0$   

$x^2=0\vee \underset{\text{(}\Delta =4,x_1=3,x_2=1\text{)}}{-x^2+4x-3}=0$  

$x=0x=3\vee x=1$  

szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = f'(x) (pamiętając, że liczba 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym)

korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(1,3\right)$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,1\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R. 

Zatem otrzymujemy, że funkcja f jest 

• rosnąca w przedziale   $⟨1,3⟩;$  
• malejąca w każdym z przedziałów   $(-\infty ,1⟩,⟨3,+\infty )$  

---

d)

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{1}{5}{x}^5-\frac{5}{3}{x}^3+4x-6,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f i badamy jej znak:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{5}{x}^5-\frac{5}{3}{x}^3+4x-6\right]{}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{5}\cdot 5x^4-\frac{5}{3}\cdot 3x^2+4=x^4-5x^2+4$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^4-5x^2+4,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy miejsce zerowe i szkicujemy przybliżony wykres funkcji y = f'(x). 

$x^4-5x^2+4=0$

$x^4-4x^2-x^2+4=0$  

$x^2\left(x^2-4\right)-\left(x^2-4\right)=0$  

$\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)=0$  

$\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0$  

$x=-2\vee x=2\vee x=-1\vee x=1$  

przybliżony wykres funkcji y= f'(x)

korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-2,-1\right)\cup \left(1,2\right)$  

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R. 

Zatem otrzymujemy, że funkcja f jest 

• rosnąca w każdym z przedziałów    $(-\infty ,-2⟩,⟨-1,1⟩,⟨2,+\infty );$  
• malejąca w każdym z przedziałów  $⟨-2,-1⟩,⟨1,2⟩.$