Definicja Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i różniczkowalna w tym punkcie.  Styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) nazywamy prostą opisaną równaniem $y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

---

a)

Rozważamy funkcję

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+12x-4,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie 

$A=\left(x_0,x_0^3-6x_0^2+12x_0-4\right)$  

 

Wyznaczamy pochodną funkcji f 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[x^3-6x^2+12x-4\right]{}^{\prime }=3x^2-6\cdot 2x+12=3x^2-12x+12$  

Wyznaczamy f'(x₀)

• $f{}^{\prime }\left(x_0\right)=3x_0^2-12x_0+12$  

Zapisujemy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A:

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)=\left(3x_0^2-12x_0+12\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-6x_0^2+12x_0-4=$  

$=x\left(3x_0^2-12x_0+12\right)-x_0\left(3x_0^2-12x_0+12\right)+x_0^3-6x_0^2+12x_0-4=$  

$=x\left(3x_0^2-12x_0+12\right)-3x_0^3+12x_0^2-12x_0+x_0^3-6x_0^2+12x_0-4=$  

$=x\left(3x_0^2-12x_0+12\right)-2x_0^3+6x_0^2-4$  

Wiadomo, że do wykresu tej stycznej należy punkt B(0,-4), czyli otrzymujemy równanie 

$-4=0\cdot \left(3x_0^2-12x_0+12\right)-2x_0^3+6x_0^2-4$  

$-4=-2x_0^3+6x_0^2-4$  

$2x_0^3-6x_0^2=0$  

$2x_0^2\left(x_0-3\right)=0$  

$2x_0^2=0\vee x_0-3=0$  

$x_0=0x_0=3$  

dla x₀ = 0 otrzymujemy współrzędne punktu B.

Zatem

$x_0=3$  

Wyznaczamy współrzędne punktu A:

$f\left(x_0\right)=f\left(3\right)=3^3-6\cdot 3^2+12\cdot 3-4=27-54+36-4=5$  

czyli 

$A=\left(3,5\right)$  

---

b)

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A(3,5):

$y=x\left(3x_0^2-12x_0+12\right)-2x_0^3+6x_0^2-4$  

$y=x\left(3\cdot 3^2-12\cdot 3+12\right)-2\cdot 3^3+6\cdot 3^2-4$  

$y=x\left(27-36+12\right)-2\cdot 27+6\cdot 9-4$  

$y=3x-4$