Definicja Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i różniczkowalna w tym punkcie.  Styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) nazywamy prostą opisaną równaniem $y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

---

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-9x-\frac{1}{3},x\in \mathbb{R}$  

w punkcie P(-2, y_o).

Wyznaczamy rzędną punktu P:

$y_0=f(-2)=\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-9\cdot \left(-2\right)-\frac{1}{3}=$  

$=\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)+18-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}+18-\frac{1}{3}=$

$=-\frac{9}{3}+18=-3+18=15$

---

Wyznaczamy pochodną funkcji f 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{1}{3}{x}^3-9x-\frac{1}{3}\right]{}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-9\cdot 1=x^2-9$  

---

Wyznaczamy f'(x₀)=f'(-2)

$f{}^{\prime }\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2-9=4-9=-5$  

---

Zapisujemy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P:

$y=f{}^{\prime }\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)=-5\left(x+2\right)+15=-5x-10+15=-5x+5$  

---

Wyznaczamy współrzędne drugiego punktu wspólnego stycznej z wykresem funkcji f:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}{x}^3-9x-\frac{1}{3}\\ y=-5x+5\frac{}{}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-5x+5=\frac{1}{3}{x}^3-9x-\frac{1}{3}\\ y=-5x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x}^3+4x+5\frac{1}{3}=0\\ y=-5x+5\end{array}$  

 Rozwiążemy równanie 

$-\frac{1}{3}{x}^3+4x+\frac{16}{3}=0|\cdot (-3)$

$x^3-12x-16=0$

Wiadomo, że punkt P jest punktem wspólnym stycznej i wykresu funkcji f. 

Zatem jednym z rozwiązań powyższego równania jest liczba $-2.$ Wykonajmy zatem dzielenie wielomianu $x^3+0x^2-12x-16$ przez dwumian $x+2$ wykorzystując, np. schemat Hornera.

	$1$	$0$	$-12$	$-16$
$-2$	$1$	$-2$	$-8$	$0$

Wnioskujemy, że

$x^3-12x-16=\left(x+2\right)\left(x^2-2x-8\right)$

Wyznaczamy pierwiastki otrzymanego trójmianu kwadratowego 

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$

$\sqrt{\Delta }=6$

$x_1=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x_2=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$

ostatecznie otrzymujemy że rozwiązaniem tego równania są liczby $-2$ i $4$.

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania 

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-5\cdot \left(-2\right)+5=15\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=4\\ y=-5\cdot 4+5=-15\end{array}$  

skąd dostajemy, że drugi punkt wspólny stycznej i wykresu funkcji f ma współrzędne 

$\left(4,-15\right)$