Definicja Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0), natomiast h będzie liczbą różną od 0, dla której x0+h należy do otoczenia U(x0). Jeśli istnieje granica właściwa  $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$   to tę granicę będziemy nazywać pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczać f'(x0). Wówczas o funkcji f powiemy, że ma pochodną w punkcie x0 lub że jest różniczkowalna w punkcie x0.

---

a)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=2x^3$  

w punkcie 5. 

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli funkcja f jest określona w każdym otoczeniu punktu 5, niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, wówczas mamy 

• $f\left(5+h\right)=2{\left(5+h\right)}^3=2\left(125+75h+15h^2+h^3\right)=250+150h+30h^2+2h^3$  
  
  
• $f\left(5\right)=2\cdot 5^3=2\cdot 125=250$  

czyli 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(5+h\right)-f\left(5\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{250+150h+30h^2+2h^3-250}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{150h+30h^2+2h^3}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\left(150+30h+2h^2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left[150+30h+2h^2\right]=\left[150+0+0\right]=150$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(5\right)=150$  

---

b)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=-x^3+x^2-x$  

w punkcie -2. 

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli funkcja f jest określona w każdym otoczeniu punktu -2, niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, wówczas mamy 

• $f\left(-2+h\right)=-{\left(-2+h\right)}^3+{\left(-2+h\right)}^2-\left(-2+h\right)=-{\left(h-2\right)}^3+{\left(h-2\right)}^2+2-h=$  

  $=-\left(h^3-6h^2+12h-8\right)+h^2-4h+4+2-h=-h^3+7h^2-17h+14$    

• $f\left(-2\right)=-{\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)=-\left(-8\right)+4+2=8+6=14$  

czyli 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(-2+h\right)-f\left(-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h^3+7h^2-17h+14-14}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h^3+7h^2-17h}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\left(-h^2+7h-17\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left[-h^2+7h-17\right]=\left[0-17\right]=-17$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(-2\right)=-17$  

---

c)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-5}$  

w punkcie 1. 

Dziedziną funkcji f jest zbiór R/{5}, czyli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu U(1), niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, taką że (1+h) ∈ U(1), wówczas mamy 

• $f\left(1+h\right)=\frac{1+h+3}{1+h-5}=\frac{4+h}{-4+h}$  
  
  
• $f\left(1\right)=\frac{1+3}{1-5}=\frac{4}{-4}=-1$  

czyli 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{4+h}{-4+h}-\left(-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{4+h}{-4+h}+1}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{4+h+\left(-4+h\right)}{-4+h}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2h}{-4+h}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2}{-4+h}=\left[\frac{2}{-4+0}\right]=-\frac{1}{2}$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(1\right)=-\frac{1}{2}$  

---

d)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{-3x}{x+1}$  

w punkcie -2. 

Dziedziną funkcji f jest zbiór R/{-1}, czyli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu U(-2), niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, taką że (-2+h) ∈ U(-2), wówczas mamy 

• $f\left(-2+h\right)=\frac{-3\left(-2+h\right)}{-2+h+1}=\frac{6-3h}{h-1}$  
  
  
• $f\left(-2\right)=\frac{-3\cdot \left(-2\right)}{-2+1}=\frac{6}{-1}=-6$  

czyli 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(-2+h\right)-f\left(-2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{6-3h}{h-1}-\left(-6\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{6-3h}{h-1}+6}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{6-3h+6\left(h-1\right)}{h-1}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{3h}{h-1}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3}{h-1}=\left[\frac{3}{0-1}\right]=-3$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(-2\right)=-3$  

---

e)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\sqrt{3x+6}$  

w punkcie 1. 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji 

$3x+6\ge 0$  

$3x\ge -6$  

$x\ge -2$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór <-2,+oo), czyli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu U(1), niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, taką że (1+h) ∈ U(1), wówczas mamy 

• $f\left(1+h\right)=\sqrt{3\cdot \left(1+h\right)+6}=\sqrt{3+3h+6}=\sqrt{9+3h}$  
  
  
• $f\left(1\right)=\sqrt{3\cdot 1+6}=\sqrt{9}=3$  

czyli 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{9+3h}-3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{9+3h}-3\right)\left(\sqrt{9+3h}+3\right)}{h\left(\sqrt{9+3h}+3\right)}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{9+3h}\right)}^2-3^2}{h\left(\sqrt{9+3h}+3\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{9+3h-9}{h\left(\sqrt{9+3h}+3\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3h}{h\left(\sqrt{9+3h}+3\right)}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3}{\sqrt{9+3h}+3}=\left[\frac{3}{\sqrt{9+0}+3}\right]=\left[\frac{3}{6}\right]=\frac{1}{2}$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(1\right)=\frac{1}{2}$  

---

f)

Obliczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\sqrt{1-5x}$  

w punkcie -3. 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji 

$1-5x\ge 0$  

$1\ge 5x$  

$\frac{1}{5}\ge x$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór (-oo, ¹/₅>, czyli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu U(-3), niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, taką że (-3+h) ∈ U(-3), wówczas mamy 

• $f\left(-3+h\right)=\sqrt{1-5\left(-3+h\right)}=\sqrt{1+15-5h}=\sqrt{16-5h}$  
  
  
• $f\left(-3\right)=\sqrt{1-5\cdot \left(-3\right)}=\sqrt{16}=4$  

czyli 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(-3+h\right)-f\left(-3\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{16-5h}-4}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{16-5h}-4\right)\left(\sqrt{16-5h}+4\right)}{h\left(\sqrt{16-5h}+4\right)}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{16-5h}\right)}^2-4^2}{h\left(\sqrt{16-5h}+4\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{16-5h-16}{h\left(\sqrt{16\pm 5h}+4\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-5h}{h\left(\sqrt{16-5h}+4\right)}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-5}{\sqrt{16-5h}+4}=\left[\frac{-5}{\sqrt{16-0}+4}\right]=\left[\frac{-5}{8}\right]=-\frac{5}{8}$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(-3\right)=-\frac{5}{8}$