Wyznacz asymptoty poziome i pionowe...- Zadanie 4: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Jeśli

$x \to x_{0}^{+} lim f (x) = + \infty lub x \to x_{0}^{+} lim f (x) = - \infty,$

to prostą x = x₀ nazywamy asymptotą pionową prawostronną.

Jeśli

$x \to x_{0}^{-} lim f (x) = + \infty lub x \to x_{0}^{-} lim f (x) = - \infty,$

to prostą x = x₀ nazywamy asymptotą pionową lewostronną.

Jeśli obie granice jednostronne są niewłaściwie, to prostą x = x₀ nazywamy asymptotą pionową obustronną.

Jeśli

$x \to \infty lim f (x) = k,$

to prostą y = k nazywamy asymptotą poziomą w ∞.

Jeśli

$x \to - \infty lim f (x) = m,$

to prostą y = m nazywamy asymptotą poziomą w -∞.

Jeśli obie granice są równe, to prostą nazywamy asymptotą poziomą obustronną.

a) Mamy funkcję

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Dziedzina

$D_{f} = R \ {- 1}$

Badamy granice jednostronne w punkcie x₀ = -1

$x \to - 1^{+} lim \frac{3 x + 1}{x + 1} = \frac{3 \cdot ( - 1 ) + 1}{0 ^{+}} = \frac{- 2}{0 ^{+}} = - \infty$

$x \to - 1^{-} lim \frac{3 x + 1}{x + 1} = \frac{3 \cdot ( - 1 ) + 1}{0 ^{-}} = \frac{- 2}{0 ^{-}} = + \infty$

Mamy asymptotę pionową obustronną o równaniu

$x = - 1$

Badamy granice w nieskończonościach.

$x \to \infty lim \frac{3 x + 1}{x + 1} = x \to \infty lim \frac{x ( 3 + \frac{1}{x} )}{x ( 1 + \frac{1}{x} )} = x \to \infty lim \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{1} = 3$

$x \to - \infty lim \frac{3 x + 1}{x + 1} = x \to - \infty lim \frac{x ( 3 + \frac{1}{x} )}{x ( 1 + \frac{1}{x} )} = x \to - \infty lim \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{1} = 3$