a) Przypomnijmy cechę podzielności przez 9:

Liczba dzieli się przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby dzieli się przez 9.

Zapiszmy, że liczby, których szukamy mają postać

$x_n=9n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zauważmy, że jest to ciąg arytmetyczny. Liczby mają być czterocyfrowe, stąd

$1000\le 9n\le 9999\mid :9$  

$111\frac{1}{9}\le n\le 1111$  

Zatem

$n\in \left\{112,113,\dots ,1111\right\}$  

Mamy

$1111-111=1000$  

liczb do zsumowania. Suma ze wzoru to

$S=\frac{9\cdot 112+9\cdot 1111}{2}\cdot 1000=500\cdot \left(1008+9999\right)=500\cdot 11007=5503500$  

---

---

b) Liczby dzielą się na trzy grupy

• Przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1.
• Przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2.
• Przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 - są podzielne przez 3.

Możemy od sumy wszystkich liczb odjąć sumę tych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0. Wszystkich liczb trzycyfrowych jest

$999-99=900$  

gdzie pierwsza liczba to 100 a ostatni to 999. Suma wszystkich liczb trzycyfrowych

$S_{900}=\frac{100+999}{2}\cdot 900=1099\cdot 450=494550$  

Dodatnie liczby podzielne przez 3 mają postać

$x_n=3n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Jest to ciąg arytmetyczny. Mają być trzycyfrowe

$100\le 3n\le 999\mid :3$  

$33\frac{1}{3}\le n\le 333$  

Stąd

$n\in \left\{34,\dots ,333\right\}$  

Zatem jest ich

$333-33=300$  

Suma liczb trzycyfrowych podzielnych na 3

$S_{330}=\frac{3\cdot 34+3\cdot 333}{2}\cdot 300=150\cdot \left(102+999\right)=150\cdot 1101=165150$  

Stąd liczb trzycyfrowych niepodzielnych przez 3 jest

$494550-165150=329400$  

---

---

c) Rozdzielmy obliczanie na dwie części.

1. Najpierw policzymy sumę liczb z cyfrą 3 na końcu.

Mamy

$x_n^1=100+10n+3=103+10n,n=0,\dots ,9$

ponieważ ustalamy pierwszą cyfrę jako 1, drugą zmieniamy a trzecia jest ustalona jako 3. Jest to ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb to

$S^1=\frac{103+193}{2}\cdot 10=5\cdot 296=1480$  

Podobnie

$x_n^2=200+10n+3=203+10n,n=0,\dots ,9$  

Jest to również ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb to

$S^2=\frac{203+293}{2}\cdot 10=5\cdot 496=2480$  

Analogicznie pozostałe. Można zapisać wzór na ciąg arytmetyczny którego wyrazy wyrażają sumy poszczególnych liczb trzycyfrowych. 

$S^n=\frac{200n+96}{2}\cdot 10=1000n+480$  

Mamy 9 takich sum bo mamy 9 możliwości cyfry na miejscu setek. Zatem suma sum to

${\mathbf{S}}_x=\frac{1480+9480}{2}\cdot 9=\frac{10960}{2}\cdot 9=5480\cdot 9=49320$   

---

2. Teraz analogicznie można przedstawić sytuację dla cyfry jedności 7.

Mamy

$y_n^1=100+10n+7=107+10n,n=0,\dots ,9$

ponieważ ustalamy pierwszą cyfrę jako 1, drugą zmieniamy a trzecia jest ustalona jako 7. Jest to ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb to

$S^1=\frac{107+197}{2}\cdot 10=5\cdot 304=1520$  

Podobnie

$y_n^2=200+10n+7=207+10n,n=0,\dots ,9$  

Jest to również ciąg arytmetyczny. Analogicznie pozostałe. Można zapisać wzór na ciąg arytmetyczny którego wyrazy wyrażają sumy poszczególnych liczb trzycyfrowych. 

$S^n=\frac{200n+104}{2}\cdot 10=1000n+520$  

Mamy 9 takich sum bo mamy 9 możliwości cyfry na miejscu setek. Zatem suma sum to

${\mathbf{S}}_y=\frac{1520+9520}{2}\cdot 9=\frac{11040}{2}\cdot 9=5520\cdot 9=49680$   

---

Suma liczb trzycyfrowych, których cyfra jedności jest 3 lub 7 to

$\mathbf{S}={\mathbf{S}}_x+{\mathbf{S}}_y=49320+49680=99000$