a) Zauważmy, że lewa strona równania to suma ciągu arytmetycznego.

$1+x,3+x,\dots ,17+x$  

Oznaczmy ten ciąg jako (a_n). Analogicznie prawa strona równania

$2-x,4-x,\dots ,18-x$  

Niech to będzie ciąg (b_n).

Policzmy sumę lewej strony. Mamy

$a_1=1+x$

$r=3+x-1-x=2$   

Ostatni wyraz

$a_n=17+x$  

$a_1+r\left(n-1\right)=17+x$  

$1+x+2\left(n-1\right)=17+x$  

$1+x+2n-2=17+x\mid -x+1$  

$2n=18\mid :2$  

$n=9$  

Mamy 9 wyrazów w pierwszej sumie. Zapiszmy

$S_9^a=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9=\frac{1+x+17+x}{2}\cdot 9=\frac{18+2x}{2}\cdot 9=9\left(9+x\right)=81+9x$  

---

Policzmy sumę prawej strony. Mamy

$b_1=2-x$

$r=4-x-2+x=2$   

Ostatni wyraz

$b_n=18-x$  

$b_1+r\left(n-1\right)=18-x$  

$2-x+2\left(n-1\right)=18-x$  

$2-x+2n-2=18-x\mid +x$  

$2n=18\mid :2$  

$n=9$  

Mamy 9 wyrazów w drugiej sumie. Zapiszmy

$S_9^b=\frac{b_1+b_9}{2}\cdot 9=\frac{2-x+18-x}{2}\cdot 9=\frac{20-2x}{2}\cdot 9=9\left(10-x\right)=90-9x$  

---

Równanie po wykorzystaniu powyższych obliczeń ma postać

$81+9x=90-9x\mid +9x-81$  

$18x=9\mid :18$  

$x=\frac{1}{2}$  

---

---

b) Zauważmy, że lewa strona równania to suma ciągu arytmetycznego.

$1+x,4+2x,\dots ,37+13x$  

Oznaczmy ten ciąg jako (a_n). Analogicznie prawa strona równania

$2+3x,4+6x,\dots ,26+39x$  

Niech to będzie ciąg (b_n).

Policzmy sumę lewej strony. Mamy

$a_1=1+x$

$r=4+2x-1-x=3+x$   

Ostatni wyraz

$a_n=37+13x$  

$a_1+r\left(n-1\right)=37+13x$  

$1+x+\left(3+x\right)\left(n-1\right)=37+13x$  

$1+x+\left(3+x\right)n-3-x=37+13x$  

$\left(3+x\right)n-2=37+13x$  

$3n+xn-2=37+13x$  

Dla takiego równania powinny zachodzić równości

$\{\begin{array}{l}3n-2=37\\ n=13\end{array}$  

Czyli

$n=13$  

Mamy 13 wyrazów w pierwszej sumie. Zapiszmy

$S_{13}^a=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot 13=\frac{1+x+37+13x}{2}\cdot 13=\frac{38+14x}{2}\cdot 13=13\left(19+7x\right)$  

---

Policzmy sumę prawej strony. Mamy

$b_1=2+3x$

$r=4+6x-2-3x=2+3x$   

Ostatni wyraz

$b_n=26+39x$  

$b_1+r\left(n-1\right)=26+39x$  

$2+3x+\left(2+3x\right)\left(n-1\right)=26+39x$  

$2+3x+\left(2+3x\right)n-2-3x=26+39x$  

$\left(2+3x\right)n=26+39x$  

$2n+3xn=26+39x$  

Dla takiego równania powinny zachodzić równości

$\{\begin{array}{l}2n=26\\ 3n=39\end{array}$  

Czyli

$n=13$  

Mamy 13 wyrazów w drugiej sumie. Zapiszmy

$S_{13}^b=\frac{b_1+b_{13}}{2}\cdot 13=\frac{2+3x+26+39x}{2}\cdot 13=\frac{28+42x}{2}\cdot 13=13\left(14+21x\right)$  

---

Równanie ma postać

$13\left(19+7x\right)=13\left(14+21x\right)\mid :13$  

$19+7x=14+21x\mid -7x-14$  

$14x=5\mid :14$  

$x=\frac{5}{14}$