a) Badamy monotoniczność sprawdzając jak układają się wyrazy ciągu

$a_n=3^{n+1}-2\left(n+1\right)-1-\left(3^n-2n-1\right)=3^{n+1}-2n-2-1-3^n+2n+1=3^{n+1}-3^n-2=3^n\left(3-1\right)-2=2\cdot 3^n-2$  

Zauważmy, że funkcja wykładnicza

$f\left(x\right)=2\cdot 3^x-2$  

zawiera w sobie poszczególne wartości różnicy którą badamy. Ta funkcja dla x > 0 jest dodatnia.

To będzie oznaczało dla n naturalnych, że różnica jest dodatnia

$a_{n+1}-a_n>0$  

Ciąg jest rosnący.

---

b) Badamy monotoniczność sprawdzając znak różnicy kolejnych wyrazów

$a_{n+1}-a_n={\left(n+1\right)}^3-4{\left(n+1\right)}^2-9\left(n+1\right)+36-\left(n^3-4n^2-9n+36\right)=n^3+3n^2+3n+1-4\left(n^2+2n+1\right)-9n-9+36-n^3+4n^2+9n-36=7n^2+3n-8-4n^2-8n-4=3n^2-5n-12$  

Zbadamy znak

$f\left(x\right)=3x^2-5x-12$  

w zależności od wartości x.

${\Delta }_x={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-12\right)=25+144=169,\sqrt{{\Delta }_x}=\sqrt{169}=13$  

$x=\frac{5+13}{6}=3\vee x=\frac{5-13}{6}=-\frac{4}{3}$  

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,-\frac{4}{3}\right)\cup \left(3,+\infty \right)$

$f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\frac{4}{3},3\right)$  

Stąd dla n naturalnych

$a_{n+1}-a_n<0\text{dla }n=1,2$  

$a_{n+1}-a_n>0\text{dla }n=3,4,\dots$  

Ciąg jest niemonotoniczny.