Określ monotoniczność ciągu...- Zadanie 1: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Monotoniczność ciągu sprawdzimy badając znak różnicy kolejnych wyrazów.

$a_{n + 1} - a_{n} > 0$	$(a_{n}) rosn ą cy$
$a_{n + 1} - a_{n} < 0$	$(a_{n}) malej ą cy$
$a_{n + 1} - a_{n} = 0$	$(a_{n}) sta ł y$

a) Badamy znak różnicy

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 ( n + 1 ) + 3}{n + 1 + 1} - \frac{2 n + 3}{n + 1} = \frac{2 n + 2 + 3}{n + 2} - \frac{2 n + 3}{n + 1} = \frac{2 n + 5}{n + 2} - \frac{2 n + 3}{n + 1} = \frac{( 2 n + 5 ) ( n + 1 ) - ( 2 n + 3 ) ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{2 n ^{2} + 7 n + 5 - ( 2 n ^{2} + 7 n + 6 2 n ^{2} + 7 n + 5 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{- 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$

Wiemy, że

$\frac{- 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} < 0, v$

Ciąg jest malejący.

b) Badamy znak różnicy

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{6 ( n + 1 ) - 5}{n + 1 + 2} - \frac{6 n - 5}{n + 2} = \frac{6 n + 6 - 5}{n + 3} - \frac{6 n - 5}{n + 2} = \frac{( 6 n + 1 ) ( n + 2 ) - ( 6 n - 5 ) ( n + 3 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{6 n ^{2} + 13 n + 2 - ( 6 n ^{2} + 13 n - 15 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{17}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$

Wiemy, że

$\frac{17}{( n + 2 ) ( n + 3 )} > 0, n \in N_{+}$

Ciąg jest rosnący.

c) Badamy znak różnicy

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{10 - 3 ( n + 1 )}{n + 1 + 5} - \frac{10 - 3 n}{n + 5} = \frac{10 - 3 n - 3}{n + 6} - \frac{10 - 3 n}{n + 5} = \frac{( 7 - 3 n ) ( n + 5 ) - ( 10 - 3 n ) ( n + 6 )}{( n + 5 ) ( n + 6 )} = \frac{- 3 n ^{2} - 8 n + 35 - ( - 3 n ^{2} - 8 n + 60 )}{( n + 5 ) ( n + 6 )} = \frac{- 25}{( n + 5 ) ( n + 6 )}$

Wiemy, że

$\frac{- 25}{( n + 5 ) ( n + 6 )} < 0, n \in N_{+}$

Ciąg jest malejący.

d) Badamy znak różnicy

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{- 50 - 7 ( n + 1 )}{n + 1 + 4} - \frac{- 50 - 7 n}{n + 4} = \frac{- 50 - 7 n - 7}{n + 5} - \frac{- 50 - 7 n}{n + 4} = \frac{( - 57 - 7 n ) ( n + 4 ) - ( - 50 - 7 n ) ( n + 5 )}{( n + 4 ) ( n + 5 )} = \frac{- 7 n ^{2} - 85 n - 228 - ( - 7 n ^{2} - 85 n - 250 )}{( n + 4 ) ( n + 5 )} = \frac{22}{( n + 4 ) ( n + 5 )}$