$a)a_n=-n^2-6n-5$  

$a_{n+1}=-{\left(n+1\right)}^2-6\left(n+1\right)-5=-\left(n^2+2n+1\right)-6n-6-5=-n^2-2n-1-6n-11=-n^2-8n-12$  

Zbadajmy różnicę:

$a_{n+1}-a_n=-n^2-8n-12-\left(-n^2-6n-5\right)=-n^2-8n-12+n^2+6n+5=-2n-7<0$  

Różnica pomiędzy dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest mniejsza od 0 dla dowolnego n, a więc ciąg jest malejący.

---

$b)a_n=\frac{1}{n}-n^2$  

$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}-{\left(n+1\right)}^2=\frac{1}{n+1}-n^2-2n-1$  

Zbadajmy różnicę:

$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-n^2-2n-1-\left(\frac{1}{n}-n^2\right)=\frac{1}{n+1}-n^2-2n-1-\frac{1}{n}+n^2=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}-2n-1=\frac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}-2n-1=\frac{-1}{n\left(n+1\right)}-2n-1<0$   

Różnica pomiędzy dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest mniejsza od 0 dla dowolnego n, a więc ciąg jest malejący.

---

$c)a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$  

$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$  

Zbadajmy różnicę:

$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n}=\frac{2n\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{n\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{2n^2+4n-n^2-n-n^2-3n-2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{-2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}<0$  

Różnica pomiędzy dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest mniejsza od 0 dla dowolnego n, a więc ciąg jest malejący.