3 szkoły ponadpodstawowej

III liceum

III technikum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy

a)   a=log1000<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=log103<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119
c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120
c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
l0 -0
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11
H40000v40H1012.3
s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232
c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1
s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26
c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=log1023​=23​

Rozwiązanie 1

a) log(xy)=3   Wiemy, że log103=3, więc:

<table style="height:112px;width:1109px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:104px;"> <td style="width:1104.38px;height:104px;"> Niech a&gt;0, b&gt;0 oraz a≠1. Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, by otrzymać liczbę logarytmowaną b. loga​b=c, gdy ac=b &nbsp; </td> </tr> </tbody> </table> <hr> a) log100​x=3,52 &nbsp; Z definicji logarytmu:

a) Z tablic logarytmów dziesiętnych odczytujemy, że: 0,6444≈log4,41   0,8831≈log7,64   Mamy więc:

a) log(log1010<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)=log(log(101⋅1021​))=log(log10121​)=log(121​)=log1,5≈0,1761

<table style="height:112px;width:1109px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:104px;"> <td style="width:1104.38px;height:104px;"> Niech a&gt;0, b&gt;0 oraz a≠1. Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, by otrzymać liczbę logarytmowaną b. loga​b=c, gdy ac=b &nbsp; </td> </tr> </tbody> </table> <hr> a) 1+9log(6x+9)=10 &nbsp; Zakładamy, że: 6x+9&gt;0 &nbsp; 6x&gt;−9   ∣:6 &nbsp; x&gt;−23​ &nbsp;

<table style="height:112px;width:1109px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:104px;"> <td style="width:1104.38px;height:104px;"> Niech a&gt;0, b&gt;0 oraz a≠1. Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, by otrzymać liczbę logarytmowaną b. loga​b=c, gdy ac=b &nbsp; </td> </tr> </tbody> </table> <hr> W treści zadania podano, że należy sprawdzić otrzymane rozwiązanie, więc nie będziemy wyznaczać dziedziny, skoro i tak sprawdzimy poprawność rozwiązań (wykorzystamy metodę analizy starożytnych). <hr> a) 102+logx=10<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &nbsp; 102+logx=1021​ &nbsp;

<table style="height:112px;width:1109px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:104px;"> <td style="width:1104.38px;height:104px;"> Niech a&gt;0, b&gt;0 oraz a≠1. Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, by otrzymać liczbę logarytmowaną b. loga​b=c, gdy ac=b &nbsp; </td> </tr> </tbody> </table> <hr> W treści zadania podano, że należy sprawdzić otrzymane rozwiązanie, więc nie będziemy wyznaczać dziedziny, skoro i tak sprawdzimy poprawność rozwiązań (wykorzystamy metodę analizy starożytnych). <hr> a) log10+log0,1​(6+log10<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​x)=0 &nbsp; 1+log0,1​(6+log10<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​x)=0 &nbsp; log0,1​(6+log10<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​x)=−1 &nbsp;