$\text{a)}$  

$a=\log \sqrt{1000}=\log \sqrt{{10}^3}=\log {10}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$  

$b=\log \left(100\sqrt{10}\right)=\log \left({10}^2\cdot {10}^{\frac{1}{2}}\right)=\log {10}^{2\frac{1}{2}}=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$  

$c=\log \sqrt{10}=\log {10}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$  

Mamy:

$\frac{b+c}{2}=\frac{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{6}{2}}{2}=\frac{3}{2}=a$  

Zatem liczba a jest średnią arytmetyczną liczb b i c.

$\text{b)}$  

$a=\frac{1}{\log \left(10\sqrt{10}\right)}=\frac{1}{\log \left({10}^1\cdot {10}^{\frac{1}{2}}\right)}=\frac{1}{\log {10}^{1\frac{1}{2}}}=\frac{1}{1\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$  

$b=\log \left(\frac{10}{\sqrt[6]{10}}\right)=\log \left(\frac{{10}^1}{{10}^{\frac{1}{6}}}\right)=\log {10}^{\frac{5}{6}}=\frac{5}{6}$  

$c=\log \left(\frac{10}{\sqrt{10}}\right)=\log \left(\frac{{10}^1}{{10}^{\frac{1}{2}}}\right)=\log {10}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$  

Mamy:

$\frac{b+c}{2}=\frac{\frac{5}{6}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{5}{6}+\frac{3}{6}}{2}=\frac{\frac{8}{6}}{2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}=a$  

Zatem liczba a jest średnią arytmetyczną liczb b i c.