Mamy ciąg geometryczny

$x,y=xq,z=x{q}^2$  

Zapiszmy, że by ciąg

$\frac{x+y}{2},\frac{x+z}{2},\frac{y+z}{2}$  

był arytmetyczny powinno zachodzić, w zależności od kolejności

---

Przypadek I.

$\frac{x+z}{2}=\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}}{2}$  

$\frac{x+x{q}^2}{2}=\frac{\frac{x+xq}{2}+\frac{xq+x{q}^2}{2}}{2}\mid \cdot 2$  

$x+x{q}^2=\frac{x+xq+xq+x{q}^2}{2}\mid \cdot 2$  

$2x+2x{q}^2=x+2xq+x{q}^2\mid :x$  

$2+2q^2=1+2q+q^2\mid -1-2q-q^2$  

$q^2-2q+1=0$  

${\left(q-1\right)}^2=0$  

$q=1$  

---

Przypadek II.

$\frac{x+y}{2}=\frac{\frac{x+z}{2}+\frac{y+z}{2}}{2}$  

$\frac{x+xq}{2}=\frac{\frac{x+x{q}^2}{2}+\frac{xq+x{q}^2}{2}}{2}\mid \cdot 2$  

$x+xq=\frac{x+x{q}^2+xq+x{q}^2}{2}\mid \cdot 2$  

$2x+2xq=x+xq+2x{q}^2\mid :x$  

$2+2q=1+q+2q^2\mid -2-2q$  

$2q^2-q-1=0$  

${\Delta }_q={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9,\sqrt{{\Delta }_q}=3$  

$q=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}\vee q=\frac{1+3}{4}=1$  

---

Przypadek III.

$\frac{y+z}{2}=\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{x+z}{2}}{2}$  

$\frac{xq+x{q}^2}{2}=\frac{\frac{x+xq}{2}+\frac{x+x{q}^2}{2}}{2}\mid \cdot 2$  

$xq+x{q}^2=\frac{x+xq+x+x{q}^2}{2}\mid \cdot 2$  

$2xq+2x{q}^2=2x+xq+x{q}^2\mid :x$  

$2q+2q^2=2+q+q^2\mid -q^2-q-2$  

$q^2+q-2=0$  

${\Delta }_q=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9,\sqrt{{\Delta }_q}=3$  

$q=\frac{-1-3}{2}=-2\vee q=\frac{-1+3}{2}=1$  

---

Podsumowując

$q=1\vee q=-\frac{1}{2}\vee q=-2$