a)

Prędkość v jest pochodną odległości s po czasie t.

$v\left(t\right)=s{}^{\prime }\left(t\right)={\left(\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+1\right)}^{{}^{\prime }}=t^2-4t,\text{gdzie}t\ge 0$

Czyli prędkość ciała w chwili t dana jest wzorem:

$v\left(t\right)=t^2-4t,\text{gdzie}t\ge 0$

---

(1)  Prędkość ciała w chwili t₀ = 0 jest równa

$v\left(0\right)=0^2-4\cdot 0=0\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$  

Odległość ciała od punktu początkowego w chwili t₀ = 0 jest równa

$s\left(0\right)=\frac{1}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+1=1\left[\text{m}\right]$  

(2)  Prędkość ciała w chwili t₀ = 3 jest równa

$v\left(3\right)=3^2-4\cdot 3=-3\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$  

Odległość ciała od punktu początkowego w chwili t₀ = 3 jest równa

$s\left(3\right)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-2\cdot 3^2+1=-8\left[\text{m}\right]$  

(3)  Prędkość ciała w chwili t₀ = 5 jest równa

$v\left(5\right)=5^2-4\cdot 5=5\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$  

Odległość ciała od punktu początkowego w chwili t₀ = 5 jest równa

$s\left(5\right)=\frac{1}{3}\cdot 5^3-2\cdot 5^2+1=41\frac{2}{3}-50+1=-7\frac{1}{3}=-\frac{22}{3}\left[\text{m}\right]$  

---

---

b)

Prędkość v jest pochodną odległości s po czasie t.

$v\left(t\right)=s{}^{\prime }\left(t\right)={\left(5t^3-3t^2+2t-4\right)}^{{}^{\prime }}=15t^2-6t+2,\text{gdzie}t\ge 0$

Czyli prędkość ciała w chwili t dana jest wzorem:

$v\left(t\right)=15t^2-6t+2,\text{gdzie}t\ge 0$

---

(1)  Prędkość ciała w chwili t₀ = 0 jest równa

$v\left(0\right)=15\cdot 0^2-6\cdot 0+2=2\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$  

Odległość ciała od punktu początkowego w chwili t₀ = 0 jest równa

$s\left(0\right)=5\cdot 0^3-3\cdot 0^2+2\cdot 0-4=-4\left[\text{m}\right]$  

(2)  Prędkość ciała w chwili t₀ = 3 jest równa

$v\left(3\right)=15\cdot 3^2-6\cdot 3+2=119\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$  

Odległość ciała od punktu początkowego w chwili t₀ = 3 jest równa

$s\left(3\right)=5\cdot 3^3-3\cdot 3^2+2\cdot 3-4=110\left[\text{m}\right]$  

(3)  Prędkość ciała w chwili t₀ = 5 jest równa

$v\left(5\right)=15\cdot 5^2-6\cdot 5+2=347\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$  

Odległość ciała od punktu początkowego w chwili t₀ = 5 jest równa

$s\left(5\right)=5\cdot 5^3-3\cdot 5^2+2\cdot 5-4=556\left[\text{m}\right]$