Z treści zadania wiemy, że

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+px+q$  

Skoro do wykresu funkcji f należy punkt M = (-1, -²/₃), to prawdziwa jest równość

$-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2+p\cdot \left(-1\right)+q$  

Stąd

$-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}+1-p+q$  

$-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}-p+q$  

$-\frac{4}{3}=-p+q$

$\underline{q=p-\frac{4}{3}}\left(\ast \right)$   

Niech a będzie współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji f w punkcie M. Wówczas

$a=f{}^{\prime }\left(-1\right)\text{oraz}a=\text{tg}{135}^{\circ }$  

Stąd

$f{}^{\prime }\left(-1\right)=\text{tg}{135}^{\circ }$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}{x}^3+x^2+px+q\right){}^{\prime }=x^2+2x+p,x\in \mathbb{R}$  

Wtedy

$f{}^{\prime }\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+p=p-1$

Zatem 

$p-1=\text{tg}{135}^{\circ }$

Korzystając ze wzorów redukcyjnych, otrzymujemy:

$\text{tg}{135}^{\circ }=\text{tg}\left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=-\text{tg}{45}^{\circ }=-1$   

$p-1=-1$

$\underline{\underline{p=0}}$

Z zależności (*) otrzymujemy, że

$q=0-\frac{4}{3}$

$\underline{\underline{q=-\frac{4}{3}}}$