Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=x^3+kx-2$  

Z treści zadania wiemy, że wykres funkcji f jest styczny do osi x - a zatem jest styczny do prostej o równaniu:

$y=0$  

Punkt styczności należy zarówno do tej prostej, jak i do wykresu funkcji f, więc jego współrzędne możemy wyrazić w następujących postaciach:

$P=\left(x_0,0\right)\text{i}P=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$

Stąd

$f\left(x_0\right)=0$   

Czyli

$\underline{x_0{}^3+k{x}_0-2=0}\left(\ast \right)$  

Ponadto, korzystając z zależności f'(x₀) = a (gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym stycznej) wnioskujemy, że

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=0$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^3+kx-2\right){}^{\prime }=3x^2+k$  

Wówczas

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=3x_0{}^2+k$  

Zatem

$\underline{3x_0{}^2+k=0}\left(\ast \ast \right)$  

Z zależności (*) i (**) otrzymujemy następujący układ równań:

$\{\begin{array}{l}{x}_0{}^3+k{x}_0-2=0\\ 3x_0{}^2+k=0\mid -3x_0{}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_0{}^3+k{x}_0-2=0\\ k=-3x_0{}^2\end{array}$  

Wstawiamy tak wyznaczone k do pierwszego
równania układu i rozwiązujemy to równanie.

$x_0{}^3+\left(-3x_0{}^2\right)\cdot x_0-2=0$  

$x_0{}^3-3x_0{}^3-2=0$  

$-2x_0{}^3-2=0$  

$-2x_0{}^3=2$  

$x_0{}^3=-1$  

$x_0=-1$  

$\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ k=-3x_0{}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ k=-3\cdot {\left(-1\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ k=-3\end{array}$  

Zatem otrzymaliśmy, że

$\underline{\underline{k=-3}}$