a)

Założenie:

Funkcja f dana jest wzorem

$f\left(x\right)=x^5+2x-12,x\in \mathbb{R}$  

---

Teza:

Dla każdej liczby rzeczywistej x, styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x, f(x)) tworzy z osią x kąt ostry.

---

Dowód:

Niech punkt

$P=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$  

będzie dowolnym punktem, należącym do wykresu funkcji f.

Niech a będzie współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P, zaś 𝛼 - kątem nachylenia tej stycznej do osi x układu współrzędnych (𝛼  ∈ ⟨0º; 180º)).

Przypomnijmy, że

• $a=\text{tg}\alpha$
  
  
• $\text{tg}\alpha >0\text{dla}\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$  
  
  
• $a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^5+2x-12\right){}^{\prime }=5x^4+2,x\in \mathbb{R}$  

Zauważmy, że

$5\underset{\ge 0}{\underbrace{x^4}}+2>0\text{dla}x\in \mathbb{R}$  

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=5x_0{}^4+2>0$  

Wobec tego

$\text{tg}\alpha >0$

Skoro więc

$\alpha \in \left(0^{\circ };{180}^{\circ }\right)\wedge \text{tg}\alpha >0$  

to

$\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$  

Czyli 𝛼 jest kątem ostrym.

Z dowolności wyboru punktu P wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej x, styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x, f(x)) tworzy z osią x kąt ostry,

c.n.u.

---

---

a)

Założenie:

Funkcja f dana jest wzorem

$f\left(x\right)=10-x-x^3,x\in \mathbb{R}$  

---

Teza:

Dla każdej liczby rzeczywistej x, styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x, f(x)) tworzy z osią x kąt rozwarty.

---

Dowód:

Niech punkt

$P=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$  

będzie dowolnym punktem, należącym do wykresu funkcji f.

Niech a będzie współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P, zaś 𝛼 - kątem nachylenia tej stycznej do osi x układu współrzędnych (𝛼  ∈ ⟨0º; 180º)).

Przypomnijmy, że

• $a=\text{tg}\alpha$
  
  
• $\text{tg}\alpha <0\text{dla}\alpha \in \left({90}^{\circ };{180}^{\circ }\right)$  
  
  
• $a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(10-x-x^3\right){}^{\prime }=-1-3x^2,x\in \mathbb{R}$  

Zauważmy, że

$-1-3\underset{\ge 0}{\underbrace{x^2}}<0\text{dla}x\in \mathbb{R}$  

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=-1-3x_0{}^2<0$  

Wobec tego

$\text{tg}\alpha <0$

Skoro więc

$\alpha \in \left(0^{\circ };{180}^{\circ }\right)\wedge \text{tg}\alpha <0$  

to

$\alpha \in \left({90}^{\circ };{180}^{\circ }\right)$  

Czyli 𝛼 jest kątem rozwartym.

Z dowolności wyboru punktu P wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej x, styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x, f(x)) tworzy z osią x kąt rozwarty,

c.n.u.

---

---

c)

Założenie:

Funkcja f dana jest wzorem

$f\left(x\right)={\left(x^3+x^5\right)}^5,x\in \mathbb{R}$  

---

Teza:

Dla każdej liczby rzeczywistej x, styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x, f(x)) tworzy z osią x kąt 𝛼 ∈ ⟨0; ^𝜋/₂).

---

Dowód:

Niech punkt

$P=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$  

będzie dowolnym punktem, należącym do wykresu funkcji f.

Niech a będzie współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P, zaś 𝛼 - kątem nachylenia tej stycznej do osi x układu współrzędnych (𝛼  ∈ ⟨0º; 180º)).

Przypomnijmy, że

• $a=\text{tg}\alpha$
  
  
• $\text{tg}\alpha \ge 0\text{dla}\alpha \in ⟨0;\frac{\pi }{2})$  
  
  
• $a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3+x^5\right)}^5=5{\left(x^3+x^5\right)}^4\cdot \left(x^3+x^5\right){}^{\prime }=5{\left(x^3+x^5\right)}^4\cdot \left(3x^2+x^4\right),x\in \mathbb{R}$  

Zauważmy, że

$5\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(x^3+x^5\right)}^4}}\cdot \underset{\ge 0}{\underbrace{\left(3x^2+x^4\right)}}\ge 0\text{dla}x\in \mathbb{R}$  

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=5x_0{}^4+2\ge 0$  

Wobec tego

$\text{tg}\alpha \ge 0$

Skoro więc

$\alpha \in ⟨0^{\circ };{180}^{\circ })\wedge \text{tg}\alpha \ge 0$  

to

$\alpha \in ⟨0;\frac{\pi }{2})$  

Z dowolności wyboru punktu P wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej x, styczna do wykresu funkcji f w punkcie P=(x, f(x)) tworzy z osią x kąt ostry,

c.n.u.