Założenia:

Dane są

• prosta o równaniu:
  $y=kx$
  
  
• parabola o równaniu:
  $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}$  
  
  
• A i B - punkty przecięcia prostej i paraboli

---

Teza:

Styczne do paraboli w punktach A i B są prostopadłe.

---

Dowód:

Aby wykazać tezę, wyznaczymy współczynniki kierunkowe a_A i a_B stycznych do paraboli odpowiednio w punktach A i B i pokażemy, że spełniają one równość:

$a_A\cdot a_B=-1$

Niech

$A=\left(x_A,y_A\right)$

$B=\left(x_B,y_B\right)$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f, której wykresem jest dana parabola:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}\right){}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$

Zatem

$a_A=f{}^{\prime }\left(x_A\right)=x_A$

$a_B=f{}^{\prime }\left(x_B\right)=x_B$    

Wyznaczamy x_A i x_B. Punkty A i B należą zarówno do paraboli, jak i do prostej, zatem ich współrzędne spełniają układ równań:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}\\ y=kx\end{array}$  

Stąd

$\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}=kx$

$\frac{1}{2}{x}^2-kx-\frac{1}{2}=0$

$\Delta ={\left(-k\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=k^2+1$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{k^2+1}$

$x_1=\frac{k-\sqrt{k^2+1}}{2\cdot \frac{1}{2}}=k-\sqrt{k^2+1}$      

$x_2=\frac{k+\sqrt{k^2+1}}{2\cdot \frac{1}{2}}=k+\sqrt{k^2+1}$     

Bez straty ogólności, uznajmy, że

$x_A=k-\sqrt{k^2+1}\text{oraz}{x}_B=k+\sqrt{k^2+1}$  

Wówczas 

$a_A\cdot a_B=x_A\cdot x_B=\left(k-\sqrt{k^2+1}\right)\cdot \left(k+\sqrt{k^2+1}\right)=k^2-\left(k^2+1\right)=k^2-k^2-1=-1$

Pokazaliśmy więc, że

$a_A\cdot a_B=-1$

wobec tego możemy wnioskować, że styczne do paraboli w punktach A i B są prostopadłe,

c.n.u.