Pochodna funkcji f w punkcie x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu a stycznej   do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, f(x0)). $f{}^{\prime }\left(x_0\right)=a$

---

a)

Niech równanie 

$y=ax+b$

będzie równaniem stycznej do wykresów funkcji f i g w punkcie ich przecięcia, przy czym

$f\left(x\right)=x^2+4x+8,x\in \mathbb{R}$

$g\left(x\right)=x^2+8x+4,x\in \mathbb{R}$   

Niech punkt P będzie punktem przecięcia wykresów funkcji f i g. Wyznaczamy jego współrzędne: 

${}_{-}\{\begin{array}{l}y=x^2+4x+8\\ y=x^2+8x+4\end{array}$   

$0=-4x+4$

$4x=4$

$x=1$

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=x^2+8x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1^2+8\cdot 1+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=13\end{array}\Rightarrow \underline{P=\left(1,13\right)}$  

1.  Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P = (1, 13).

Wiemy, że

$a=f{}^{\prime }\left(1\right)$    

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^2+4x+8\right){}^{\prime }=2x+4,x\in \mathbb{R}$

Stąd

$a=f{}^{\prime }\left(1\right)=2\cdot 1+4=6$    

Punkt P należy do stycznej, więc 

$13=6\cdot 1+b$

$b=7$   

Zatem styczna do wykresu funkcji f w punkcie P ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=6x+7}}$  

2.  Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji g w punkcie P = (1, 13).

Wiemy, że

$a=g{}^{\prime }\left(1\right)$    

Wyznaczamy pochodną funkcji g:

$g{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^2+8x+4\right){}^{\prime }=2x+8,x\in \mathbb{R}$

Stąd

$a=g{}^{\prime }\left(1\right)=2\cdot 1+8=10$    

Punkt P należy do stycznej, więc 

$13=10\cdot 1+b$

$b=3$   

Zatem styczna do wykresu funkcji g w punkcie P ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=10x+3}}$  

---

b)

Niech równanie 

$y=ax+b$

będzie równaniem stycznej do wykresów funkcji f i g w punkcie ich przecięcia, przy czym

$f\left(x\right)=x^3,x\in \mathbb{R}$

$g\left(x\right)=\frac{32}{x^2},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$   

Niech punkt P będzie punktem przecięcia wykresów funkcji f i g. Wyznaczamy jego współrzędne: 

$\{\begin{array}{l}y=x^3\\ y=\frac{32}{x^2}\end{array}$   

$x^3=\frac{32}{x^2}\mid \cdot x^2$

$x^5=32$

$x=2$

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=x^3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=8\end{array}\Rightarrow \underline{P=\left(2,8\right)}$  

1.  Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P = (2, 8).

Wiemy, że

$a=f{}^{\prime }\left(2\right)$    

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^3\right){}^{\prime }=3x^2,x\in \mathbb{R}$

Stąd

$a=f{}^{\prime }\left(2\right)=3\cdot 2^2=12$    

Punkt P należy do stycznej, więc 

$8=12\cdot 2+b$

$8=24+b$  

$b=-16$   

Zatem styczna do wykresu funkcji f w punkcie P ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=12x-16}}$  

2.  Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji g w punkcie P = (2, 8).

Wiemy, że

$a=g{}^{\prime }\left(2\right)$    

Wyznaczamy pochodną funkcji g (np. korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej):

$g{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{32}{x^2}\right){}^{\prime }=-\frac{32}{{\left(x^2\right)}^2}\cdot \left(x^2\right){}^{\prime }=-\frac{32}{x^4}\cdot 2x=-\frac{64}{x^3},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$

Stąd

$a=g{}^{\prime }\left(2\right)=-\frac{64}{2^3}=-8$    

Punkt P należy do stycznej, więc 

$8=-8\cdot 2+b$

$8=-16+b$

$b=24$   

Zatem styczna do wykresu funkcji g w punkcie P ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=-8x+24}}$  

---

c)

Niech równanie 

$y=ax+b$

będzie równaniem stycznej do wykresów funkcji f i g w punkcie ich przecięcia, przy czym

$f\left(x\right)=x^4,x\in \mathbb{R}$

$g\left(x\right)=-\frac{1}{x},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$   

Niech punkt P będzie punktem przecięcia wykresów funkcji f i g. Wyznaczamy jego współrzędne: 

$\{\begin{array}{l}y=x^4\\ y=-\frac{1}{x}\end{array}$   

$x^4=-\frac{1}{x}\mid \cdot x$

$x^5=-1$

$x=-1$

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=x^4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\Rightarrow \underline{P=\left(-1,1\right)}$  

1.  Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P = (-1, 1).

Wiemy, że

$a=f{}^{\prime }\left(-1\right)$    

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^4\right){}^{\prime }=4x^3,x\in \mathbb{R}$

Stąd

$a=f{}^{\prime }\left(-1\right)=4\cdot {\left(-1\right)}^3=-4$    

Punkt P należy do stycznej, więc 

$1=-4\cdot \left(-1\right)+b$

$1=4+b$  

$b=-3$   

Zatem styczna do wykresu funkcji f w punkcie P ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=-4x-3}}$  

2.  Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji g w punkcie P = (-1, 1).

Wiemy, że

$a=g{}^{\prime }\left(-1\right)$    

Wyznaczamy pochodną funkcji g:

$g{}^{\prime }\left(x\right)=\left(-\frac{1}{x}\right){}^{\prime }=-1\cdot \left(\frac{1}{x}\right){}^{\prime }=-1\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x^2},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$

Stąd

$a=g{}^{\prime }\left(-1\right)=\frac{1}{{\left(-1\right)}^2}=1$    

Punkt P należy do stycznej, więc 

$1=1\cdot \left(-1\right)+b$

$1=-1+b$

$b=2$   

Zatem styczna do wykresu funkcji g w punkcie P ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=x+2}}$