Określmy najpierw dziedzinę funkcji $f.$  

$x^2-12\ne 0$  

$x^2\ne 12$  

$\left|x\right|\ne \sqrt{12}$  

$\left|x\right|\ne 2\sqrt{3}$  

$x\ne 2\sqrt{3}\vee x\ne -2\sqrt{3}$  

Zatem:

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-2\sqrt{3},2\sqrt{3}\right\}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $f$  z osią  $x.$  

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{3x}{x^2-12}=0\mid \cdot \left(x^2-12\right)$  

$3x=0\mid :3$  

$x=0$  

Wykres funkcji  $f$  przecina osie układu współrzędnych w punkcie $\left(0,0\right).$  

---

Określmy najpierw dziedzinę funkcji $g.$  

$x^2+6x+9\ne 0$  

${\left(x+3\right)}^2\ne 0$  

$x+3\ne 0$  

$x\ne -3$  

Zatem:

$D_g=\mathbb{R}\text{}\left\{-3\right\}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $g$  z osią  $x.$  

$g\left(x\right)=0$  

$\frac{-4}{x^2+6x+9}=0\mid \cdot \left(x^2+6x+9\right)$  

$-4=0$  

Wykres funkcji  $g$  nie przecina osi  $x.$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $g$  z osią  $y.$  

$g\left(0\right)=\frac{-4}{0^2+6\cdot 0+9}=\frac{-4}{9}=-\frac{4}{9}$  

Wykres funkcji  $g$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,-\frac{4}{9}\right).$  

Wzór funkcji  $g$  zapiszmy w postaci równoważnej.

$g\left(x\right)=\frac{-4}{x^2+6x+9}=\frac{-4}{{\left(x+3\right)}^2}$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną. Zatem funkcja  $g$  przyjmuje tylko wartości ujemne.

---

Określmy najpierw dziedzinę funkcji $h.$  

$x^8+4x^4+2\ne 0$  

Podstawienie pomocnicze:

$x^4=t,t\ge 0$  

Mamy więc:

$t^2+4t+2\ne 0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

${\Delta }_t=4^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$t_1=\frac{-4-\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{-4-2\sqrt{2}}{2}=-2-\sqrt{2}<0$  

$t_2=\frac{-4+\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{-4+2\sqrt{2}}{2}=-2+\sqrt{2}<0$  

Równanie nie ma rozwiązań.

Zatem:

$D_h=\mathbb{R}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $h$  z osią  $x.$  

$h\left(x\right)=0$  

$\frac{3x-1}{x^8+4x^4+2}=0\mid \cdot \left(x^8+4x^4+2\right)$  

$3x-1=0\mid +1$  

$3x=1\mid :3$  

$x=\frac{1}{3}$  

Wykres funkcji  $h$  przecina oś  $x$  w punkcie o współrzędnych  $\left(\frac{1}{3},0\right).$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $h$  z osią  $y.$  

$h\left(0\right)=\frac{3\cdot 0-1}{0^8+4\cdot 0^4+2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$  

Wykres funkcji  $h$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,-\frac{1}{2}\right).$  

---

Określmy najpierw dziedzinę funkcji $k.$  

$-x^2+3x-6\ne 0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-6\right)=9-24<0$  

Równanie nie ma rozwiązań.

Zatem:

$D_k=\mathbb{R}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $k$  z osią  $x.$  

$k\left(x\right)=0$  

$\frac{12}{-x^2+3x-6}=0\mid \cdot \left(-x^2+3x-6\right)$  

$12=0$  

Wykres funkcji  $k$  nie przecina osi  $x.$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $k$  z osią  $y.$  

$k\left(0\right)=\frac{12}{-0^2+3\cdot 0-6}=\frac{12}{-6}=-2$  

Wykres funkcji  $k$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,-2\right).$  

Obliczmy wyróżnik trójmianu kwadratowego znajdującego się w mianowniku we wzorze funkcji  $k.$  

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-6\right)=9-24<0$  

Współczynnik przy  $x^2$  jest liczbą ujemną, więc wyrażenie  $-x^2+3x-6$  przyjmuje wartości ujemne. Iloraz liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną. Zatem funkcja  $k$  przyjmuje tylko wartości ujemne.

---

Określmy najpierw dziedzinę funkcji $l.$  

$x^6+2x^2+1\ne 0$  

${\left(x^3\right)}^2+2x^2+1\ne 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Suma liczb nieujemnych i liczby 1 jest liczbą dodatnią.

Zatem:

$D_l=\mathbb{R}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $l$  z osią  $x.$  

$l\left(x\right)=0$  

$\frac{-x^2+4x-4}{x^6+2x^2+1}=0\mid \cdot \left(x^6+2x^2+1\right)$  

$-x^2+4x-4=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x^2-4x+4=0$  

${\left(x-2\right)}^2=0$  

$x-2=0\mid +2$  

$x=2$  

Wykres funkcji  $l$  przecina oś  $x$  w punkcie o współrzędnych  $\left(2,0\right).$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $l$  z osią  $y.$  

$l\left(0\right)=\frac{-0^2+4\cdot 0-4}{0^6+2\cdot 0^2+1}=\frac{-4}{1}=-4$  

Wykres funkcji  $l$  przecina oś  $y$  w punkcie o współrzędnych  $\left(0,-4\right).$  

---

Określmy najpierw dziedzinę funkcji $p.$  

$x^4+x^3-6x^2\ne 0$  

$x^2\left(x^2+x-6\right)\ne 0$  

$x^2\left(x^2-2x+3x-6\right)\ne 0$  

$x^2\left(x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)\right)\ne 0$  

$x^2\left(x-2\right)\left(x+3\right)\ne 0$  

$x^2\ne 0\wedge x-2\ne 0\wedge x+3\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne 2\wedge x\ne -3$  

Zatem:

$D_p=\mathbb{R}\text{}\left\{-3,0,2\right\}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $p$  z osią  $x.$  

$p\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2-2x}{x^4+x^3-6x^2}=0\mid \cdot \left(x^4+x^3-6x^2\right)$  

$x^2-2x=0$  

$x\left(x-2\right)=0$  

$x=0\vee x-2=0$  

$\underset{\notin D_p}{\underbrace{x=0}}\vee \underset{\notin D_p}{\underbrace{x=2}}$  

Wykres funkcji  $p$  nie przecina osi układu współrzędnych.