Przyjmijmy, że:

$A=\left(-4,2\right)$  

$B=\left(5,-10\right)$  

$C=\left(3,1\right)$  

Korzystamy ze wzoru na długość odcinka i wyznaczamy długości boków trójkąta.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(5-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(-10-2\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(5+4\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}=$  

$=\sqrt{9^2+144}=$  

$=\sqrt{81+144}=$  

$=\sqrt{225}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(3-5\right)}^2+{\left(1-\left(-10\right)\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(1+10\right)}^2}=$  

$=\sqrt{4+{11}^2}=$  

$=\sqrt{4+121}=$  

$=\sqrt{125}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(1-2\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(3+4\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=$  

$=\sqrt{7^2+1}=$  

$=\sqrt{49+1}=$  

$=\sqrt{50}$  

Najkrótsza wysokość jest opuszczona na najdłuższy bok (lub jego przedłużenie). Najdłuższym bokiem jest bok AB.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB.

$a=\frac{-10-2}{5-\left(-4\right)}=\frac{-12}{5+4}=\frac{-12}{9}=-\frac{4}{3}$  

Równanie prostej AB możemy zapisać w postaci:

$y=-\frac{4}{3}x+b$  

Do tej prostej należy punkt A (oraz B). Współrzędne tego punktu wstawiamy do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny b.

$2=-\frac{4}{3}\cdot \left(-4\right)+b$  

$\frac{6}{3}=\frac{16}{3}+b\mid -\frac{16}{3}$  

$-\frac{10}{3}=b$  

Prosta AB dana jest równaniem:

$y=-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}$  

Równanie tej prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

$y=-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}\mid \cdot 3$  

$3y=-4x-10\mid +4x$  

$4x+3y=-10\mid +10$  

$4x+3y+10=0$  

Obliczamy odległość punktu C od prostej AB - jest to szukana wysokość.

$h=\frac{\left|4\cdot 3+3\cdot 1+10\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=$  

$=\frac{\left|12+3+10\right|}{\sqrt{16+9}}=$  

$=\frac{\left|25\right|}{\sqrt{25}}=$  

$=\frac{25}{5}=$  

$=5$  

---

Odpowiedź: A