$\text{a) }\sin x+1>0$  

$\sin x>-1$  

Wyznaczmy punkty w których sin x = -1.

$x_0=\frac{3}{2}\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

rozwiązaniem nierówności jest:

$\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{b) }\sqrt{2}\cos x\le 1$  

$\cos x\le \frac{1}{\sqrt{2}}$  

$\cos x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$  

Dla

$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$x_1=\frac{\pi }{4}\vee x_2=2\pi -\frac{\pi }{4}$  

$x_1=\frac{\pi }{4}\vee x_2=\frac{7\pi }{4}$  

Odwołując się do naszej nierówności otrzymujemy

$x\in ⟨\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}⟩$  

Zatem

$x\in ⟨\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{7\pi }{4}+2k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{c) }\text{tg}x>-1$  

Rozwiążmy równanie

$\text{tg}x=-1$  

Wiemy, że tg(-x)=-tg(x), zatem mamy rozwiązanie

$x=-\frac{\pi }{4}$  

Stąd rozwiązanie nierówności

  $x\in \left(-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$  

---

$\text{d) }2\cos x+1>0$  

$2\cos x>-1$  

$\cos x>-\frac{1}{2}$  

Rozwiążmy równanie na przedziale   $⟨-\pi ,\pi ⟩$  

$\cos x=-\frac{1}{2}$  

$x_1=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}\vee x_2=-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$  

$x_1=\frac{3\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\vee x_2=\frac{-3\pi }{6}-\frac{\pi }{6}$  

$x_1=\frac{2\pi }{3}\vee x_2=-\frac{2\pi }{3}$  

Zatem rozwiązanie nierówności

$x\in \left(-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$