Rysunek pomocniczy do wszystkich podpunktów

a) Najpierw obliczmy z twierdzenia Pitagorasa długość trzeciego boku

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left|BC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2={15}^2-9^2$

${\left|AC\right|}^2=225-81=144$  

$\left|AC\right|=12$  

Teraz obliczymy z definicji funkcje trygonometryczne kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym

$\sin \alpha =\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$  

W kolejnych przykładach postąpimy analogicznie.

---

b) Obliczamy długość boku BC

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left|AC\right|}^2$  

${\left|BC\right|}^2={34}^2-{16}^2$  

${\left|BC\right|}^2=1156-256=900$  

$\left|BC\right|=30$  

Obliczamy funkcje trygonometryczne

$\sin \alpha =\frac{30}{34}=\frac{15}{17}$  

$\cos \alpha =\frac{16}{34}=\frac{8}{17}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{30}{16}=\frac{15}{8}$

---

c) Obliczamy długość boku AB

${\left|AB\right|}^2={\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$  

${\left|AB\right|}^2=2^2+3^2$  

${\left|AB\right|}^2=4+9=13$  

$\left|AB\right|=\sqrt{13}$  

Obliczamy funkcje trygonometryczne

$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{3}{2}$

---

d) Obliczamy długość boku BC

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left|AC\right|}^2$  

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left(\frac{1}{3}\left|AB\right|\right)}^2$  

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-\frac{1}{9}{\left|AB\right|}^2$  

${\left|BC\right|}^2=\frac{8}{9}{\left|AB\right|}^2$

  $\left|BC\right|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|AB\right|$  

Obliczamy funkcje trygonometryczne

$\sin \alpha =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|AB\right|}{\left|AB\right|}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

$\cos \alpha =\frac{\frac{1}{3}\left|AB\right|}{\left|AB\right|}=\frac{1}{3}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|AB\right|}{\frac{1}{3}\left|AB\right|}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 3=2\sqrt{2}$