a) Wzór funkcji  $f$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=\frac{ax+1}{x+b}=\frac{a\left(x+b\right)-a\cdot b+1}{x+b}=\frac{a\left(x+b\right)-ab+1}{x+b}=\frac{a\left(x+b\right)-\left(ab-1\right)}{x+b}=\frac{a\left(x+b\right)}{x+b}-\frac{ab-1}{x+b}=a-\frac{ab-1}{x+b}=-\frac{ab-1}{x+b}+a=-\frac{ab-1}{x-\left(-b\right)}+a$  

Skoro asymptoty wykresu funkcji  $f$  przecinają się w punkcie  $\left(5,-3\right),$  to asymptotami są proste o równaniach:

$x=5,y=-3$  

Wobec tego:

$\{\begin{array}{l}-b=5\\ a=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-5\\ a=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-5\end{array}$  

---

b) Wzór funkcji  $g$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$g\left(x\right)=\frac{px-2}{2x+q}=\frac{px-2}{2\left(x+\frac{q}{2}\right)}=\frac{\frac{1}{2}\left(px-2\right)}{x+\frac{q}{2}}=\frac{\frac{p}{2}x-1}{x+\frac{q}{2}}=\frac{\frac{p}{2}\left(x+\frac{q}{2}\right)-\frac{p}{2}\cdot \frac{q}{2}-1}{x+\frac{q}{2}}=\frac{\frac{p}{2}\left(x+\frac{q}{2}\right)-\frac{pq}{4}-\frac{4}{4}}{x+\frac{q}{2}}=\frac{\frac{p}{2}\left(x+\frac{q}{2}\right)-\left(\frac{pq}{4}+\frac{4}{4}\right)}{x+\frac{q}{2}}=\frac{\frac{p}{2}\left(x+\frac{q}{2}\right)-\left(\frac{pq+4}{4}\right)}{x+\frac{q}{2}}=\frac{\frac{p}{2}\left(x+\frac{q}{2}\right)}{x+\frac{q}{2}}-\frac{\frac{pq+4}{4}}{x+\frac{q}{2}}=\frac{p}{2}-\frac{\frac{pq+4}{4}}{x+\frac{q}{2}}=-\frac{\frac{pq+4}{4}}{x+\frac{q}{2}}+\frac{p}{2}=-\frac{\frac{pq+4}{4}}{x-\left(-\frac{q}{2}\right)}+\frac{p}{2}$  

Środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej jest punkt przecięcia asymptot wykresu.

Skoro asymptoty wykresu funkcji  $g$  przecinają się w punkcie  $\left(-4,1\right),$  to asymptotami są proste o równaniach:

$x=-4,y=1$  

Wobec tego:

$\{\begin{array}{l}-\frac{q}{2}=-4\\ \frac{p}{2}=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}q=8\\ p=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}p=2\\ q=8\end{array}$