Określ dziedzinę funkcji ...- Zadanie 10: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Określając dziedzinę funkcji $f,$ musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy.

$f (x) = \frac{x + 2}{4 x + 1}$

(1) W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Musimy więc założyć, że:

$4 x + 1 \neq = 0$

$4 x \neq = - 1$

$x \neq = - \frac{1}{4}$

(2) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej. Stąd otrzymujemy następującą nierówność:

$\frac{x + 2}{4 x + 1} \geq 0$

Dziedzinę tej nierówności określiliśmy już w punkcie (1).

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(x + 2) (4 x + 1) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (x + 2) (4 x + 1) .$

$(x + 2) (4 x + 1) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x + 2 = 0 \lor 4 x + 1 = 0$

$x = - 2 \lor 4 x = - 1$

$x = - 2 \lor x = - \frac{1}{4}$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni) i przecinającą oś $x$ w punktach o pierwszych współrzędnych $x = - 2$ i $x = - \frac{1}{4} .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup ⟨ - \frac{1}{4}; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup (- \frac{1}{4}; + \infty)$

Wobec tego:

$D_{f} = (- \infty; - 2 ⟩ \cup (- \frac{1}{4}; + \infty)$

b) Określając dziedzinę funkcji $f,$ musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy.

$f (x) = \frac{x}{5 + 2 x} + 1$

(1) W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Musimy więc założyć, że:

$5 + 2 x \neq = 0$

$2 x \neq = - 5$

$x \neq = - \frac{5}{2}$

(2) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej. Stąd otrzymujemy następującą nierówność:

$\frac{x}{5 + 2 x} + 1 \geq 0$

Dziedzinę tej nierówności określiliśmy już w punkcie (1).

$\frac{x}{5 + 2 x} + \frac{5 + 2 x}{5 + 2 x} \geq 0$

$\frac{x + 5 + 2 x}{5 + 2 x} \geq 0$

$\frac{3 x + 5}{5 + 2 x} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(3 x + 5) (5 + 2 x) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (3 x + 5) (5 + 2 x) .$

$(3 x + 5) (5 + 2 x) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$3 x + 5 = 0 \lor 5 + 2 x = 0$

$3 x = - 5 \lor 2 x = - 5$

$x = - \frac{5}{3} \lor x = - \frac{5}{2}$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni) i przecinającą oś $x$ w punktach o pierwszych współrzędnych $x = - \frac{5}{2}$ i $x = - \frac{5}{3} .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - \frac{5}{2} ⟩ \cup ⟨ - \frac{5}{3}; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in (- \infty; - \frac{5}{2}) \cup ⟨ - \frac{5}{3}; + \infty)$

Wobec tego:

$D_{f} = (- \infty; - \frac{5}{2}) \cup ⟨ - \frac{5}{3}; + \infty)$

c) Określając dziedzinę funkcji $f,$ musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy.

$f (x) = \frac{3 x - 2}{x - 5} - 4$

(1) W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Musimy więc założyć, że:

$x - 5 \neq = 0$

$x \neq = 5$

(2) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej. Stąd otrzymujemy następującą nierówność:

$\frac{3 x - 2}{x - 5} - 4 \geq 0$

Dziedzinę tej nierówności określiliśmy już w punkcie (1).

$\frac{3 x - 2}{x - 5} - \frac{4 ( x - 5 )}{x - 5} \geq 0$

$\frac{3 x - 2}{x - 5} - \frac{4 x - 20}{x - 5} \geq 0$

$\frac{3 x - 2 - ( 4 x - 20 )}{x - 5} \geq 0$

$\frac{3 x - 2 - 4 x + 20}{x - 5} \geq 0$

$\frac{- x + 18}{x - 5} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- x + 18) (x - 5) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (- x + 18) (x - 5) .$

$(- x + 18) (x - 5) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$- x + 18 = 0 \lor x - 5 = 0$

$- x = - 18 \lor x = 5$

$x = 18 \lor x = 5$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu (współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny) i przecinającą oś $x$ w punktach o pierwszych współrzędnych $x = 5$ i $x = 18 .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in ⟨ 5; 18 ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in (5; 18 ⟩$

Wobec tego:

$D_{f} = (5; 18 ⟩$

d) Określając dziedzinę funkcji $f,$ musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy.

$f (x) = \frac{4 x - 7}{\frac{3}{2 + x} - 5}$

(1) W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Musimy więc założyć, że:

$\frac{3}{2 + x} - 5 \neq = 0 \land 2 + x \neq = 0$

Pierwiastek z dowolnej liczby rzeczywistej jest równy 0, jeżeli liczba ta jest równa 0. Stąd otrzymujemy:

$\frac{3}{2 + x} - 5 \neq = 0$

$\frac{3}{2 + x} - \frac{5 ( 2 + x )}{2 + x} \neq = 0$

$\frac{3}{2 + x} - \frac{10 + 5 x}{2 + x} \neq = 0$

$\frac{3 - ( 10 + 5 x )}{2 + x} \neq = 0$

$\frac{3 - 10 - 5 x}{2 + x} \neq = 0$

$\frac{- 5 x - 7}{2 + x} \neq = 0$

$- 5 x - 7 \neq = 0$

$- 5 x \neq = 7$

$x \neq = - \frac{7}{5}$

Zatem:

$x \neq = - \frac{7}{5} \land 2 + x \neq = 0$

$x \neq = - \frac{7}{5} \land x \neq = - 2$

(2) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej. Stąd otrzymujemy następującą nierówność:

$\frac{3}{2 + x} - 5 \geq 0$

Dziedzinę tej nierówności określiliśmy już w punkcie (1).

$\frac{3}{2 + x} - \frac{5 ( 2 + x )}{2 + x} \geq 0$

$\frac{3}{2 + x} - \frac{10 + 5 x}{2 + x} \geq 0$

$\frac{3 - ( 10 + 5 x )}{2 + x} \geq 0$

$\frac{3 - 10 - 5 x}{2 + x} \geq 0$

$\frac{- 5 x - 7}{2 + x} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- 5 x - 7) (2 + x) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (- 5 x - 7) (2 + x) .$

$(- 5 x - 7) (2 + x) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$- 5 x - 7 = 0 \lor 2 + x = 0$

$- 5 x = 7 \lor x = - 2$

$x = - \frac{7}{5} \lor x = - 2$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu (współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny) i przecinającą oś $x$ w punktach o pierwszych współrzędnych $x = - 2$ i $x = - \frac{7}{5} .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in ⟨ - 2; - \frac{7}{5} ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in (- 2; - \frac{7}{5} ⟩$

Wobec tego:

$D_{f} = (- 2; - \frac{7}{5})$

e) Określając dziedzinę funkcji $f,$ musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy.

$f (x) = \frac{6 - x}{1 - \frac{x - 3}{x + 2}}$

(1) W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Musimy więc założyć, że:

$1 - \frac{x - 3}{x + 2} \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0$

Pierwsza różnica będzie równa 0, gdy pierwiastek przyjmie wartość 1. Stąd otrzymujemy:

$\frac{x - 3}{x + 2} \neq = 1$

Pierwiastek z dowolnej liczby rzeczywistej jest równy 1, jeżeli liczba ta jest równa 1. Mamy więc:

$\frac{x - 3}{x + 2} \neq = 1 ∣ - 1$

$\frac{x - 3}{x + 2} - 1 \neq = 0$

$\frac{x - 3}{x + 2} - \frac{x + 2}{x + 2} \neq = 0$

$\frac{x - 3 - ( x + 2 )}{x + 2} \neq = 0$

$\frac{x - 3 - x - 2}{x + 2} \neq = 0$

$\frac{- 5}{x + 2} \neq = 0$

Liczba -5 znajdująca się w liczniku jest ujemna, więc ułamek ten nie będzie równy 0.

Zatem:

$x \in R \land x + 2 \neq = 0$

$x \in R \land x \neq = - 2$

$x \neq = - 2$

(2) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej. Stąd otrzymujemy następującą nierówność:

$\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$

Dziedzinę tej nierówności określiliśmy już w punkcie (1).

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(x - 3) (x + 2) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (x - 3) (x + 2) .$

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 3 = 0 \lor x + 2 = 0$

$x = 3 \lor x = - 2$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni) i przecinającą oś $x$ w punktach o pierwszych współrzędnych $x = - 2$ i $x = 3 .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - 2 ⟩ \cup ⟨ 3; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in (- \infty; - 2) \cup ⟨ 3; + \infty)$

Wobec tego:

$D_{f} = (- \infty; - 2) \cup ⟨ 3; + \infty)$

f) Określając dziedzinę funkcji $f,$ musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy.

$f (x) = \frac{- 7}{\frac{x}{4 x + 1} - 2}$

(1) W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Musimy więc założyć, że:

$\frac{x}{4 x + 1} - 2 \neq = 0 \land 4 x + 1 \neq = 0$

Pierwsza różnica będzie równa 0, gdy pierwiastek przyjmie wartość 2. Stąd otrzymujemy:

$\frac{x}{4 x + 1} \neq = 2$

Pierwiastek z dowolnej liczby rzeczywistej jest równy 2, jeżeli liczba ta jest równa 4. Mamy więc:

$\frac{x}{4 x + 1} \neq = 4 ∣ - 4$

$\frac{x}{4 x + 1} - 4 \neq = 0$

$\frac{x}{4 x + 1} - \frac{4 ( 4 x + 1 )}{4 x + 1} \neq = 0$

$\frac{x}{4 x + 1} - \frac{16 x + 4}{4 x + 1} \neq = 0$

$\frac{x - ( 16 x + 4 )}{4 x + 1} \neq = 0$

$\frac{x - 16 x - 4}{4 x + 1} \neq = 0$

$\frac{- 15 x - 4}{4 x + 1} \neq = 0$

$- 15 x - 4 \neq = 0$

$- 15 x \neq = 4$

$x \neq = - \frac{4}{15}$

Zatem:

$x \neq = - \frac{4}{15} \land 4 x + 1 \neq = 0$

$x \neq = - \frac{4}{15} \land 4 x \neq = - 1$

$x \neq = - \frac{4}{15} \land x \neq = - \frac{1}{4}$

(2) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej. Stąd otrzymujemy następującą nierówność:

$\frac{x}{4 x + 1} \geq 0$

Dziedzinę tej nierówności określiliśmy już w punkcie (1).

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$x (4 x + 1) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = x (4 x + 1) .$

$x (4 x + 1) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x = 0 \lor 4 x + 1 = 0$

$x = 0 \lor 4 x = - 1$

$x = 0 \lor x = - \frac{1}{4}$

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni) i przecinającą oś $x$ w punktach o pierwszych współrzędnych $x = - \frac{1}{4}$ i $x = 0 .$