Rozwiąż nierówność ...- Zadanie 3: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$2 x \neq = 0 \land 4 x + 3 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 4 x \neq = - 3$

$x \neq = 0 \land x \neq = - \frac{3}{4}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{3}{4}, 0}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{5}{2 x} - \frac{7}{4 x + 3} \leq 0$

$\frac{5 ( 4 x + 3 )}{2 x ( 4 x + 3 )} - \frac{7 \cdot 2 x}{( 4 x + 3 ) \cdot 2 x} \leq 0$

$\frac{20 x + 15}{2 x ( 4 x + 3 )} - \frac{14 x}{2 x ( 4 x + 3 )} \leq 0$

$\frac{20 x + 15 - 14 x}{2 x ( 4 x + 3 )} \leq 0$

$\frac{6 x + 15}{2 x ( 4 x + 3 )} \leq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(6 x + 15) \cdot 2 x (4 x + 3) \leq 0$

$2 x (6 x + 15) (4 x + 3) \leq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = 2 x (6 x + 15) (4 x + 3) .$

$2 x (6 x + 15) (4 x + 3) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$2 x = 0 \lor 6 x + 15 = 0 \lor 4 x + 3 = 0$

$x = 0 \lor 6 x = - 15 \lor 4 x = - 3$

$x = 0 \lor x = - \frac{5}{2} \lor x = - \frac{3}{4}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - \frac{5}{2} \lor 1-kr x = - \frac{3}{4} \lor 1-kr x = 0$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - \frac{5}{2} ⟩ \cup ⟨ - \frac{3}{4}; 0 ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- \infty; - \frac{5}{2} ⟩ \cup (- \frac{3}{4}; 0)$

b) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$2 x - 1 \neq = 0 \land 4 x + 3 \neq = 0$

$2 x \neq = 1 \land 4 x \neq = - 3$

$x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = - \frac{3}{4}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{3}{4}, \frac{1}{2}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{3}{2 x - 1} - \frac{5}{4 x + 3} \geq 0$

$\frac{3 ( 4 x + 3 )}{( 2 x - 1 ) ( 4 x + 3 )} - \frac{5 ( 2 x - 1 )}{( 4 x + 3 ) ( 2 x - 1 )} \geq 0$

$\frac{12 x + 9}{( 2 x - 1 ) ( 4 x + 3 )} - \frac{10 x - 5}{( 4 x + 3 ) ( 2 x - 1 )} \geq 0$

$\frac{12 x + 9 - ( 10 x - 5 )}{( 4 x + 3 ) ( 2 x - 1 )} \geq 0$

$\frac{12 x + 9 - 10 x + 5}{( 4 x + 3 ) ( 2 x - 1 )} \geq 0$

$\frac{2 x + 14}{( 4 x + 3 ) ( 2 x - 1 )} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(2 x + 14) (4 x + 3) (2 x - 1) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (2 x + 14) (4 x + 3) (2 x - 1) .$

$(2 x + 14) (4 x + 3) (2 x - 1) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$2 x + 14 = 0 \lor 4 x + 3 = 0 \lor 2 x - 1 = 0$

$2 x = - 14 \lor 4 x = - 3 \lor 2 x = 1$

$x = - 7 \lor x = - \frac{3}{4} \lor x = \frac{1}{2}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 7 \lor 1-kr x = - \frac{3}{4} \lor 1-kr x = \frac{1}{2}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in ⟨ - 7; - \frac{3}{4} ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{2}; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in ⟨ - 7; - \frac{3}{4}) \cup (\frac{1}{2}; + \infty)$

c) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$5 + 3 x \neq = 0 \land 6 - 5 x \neq = 0$

$3 x \neq = - 5 \land - 5 x \neq = - 6$

$x \neq = - \frac{5}{3} \land x \neq = \frac{6}{5}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{5}{3}, \frac{6}{5}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{4}{5 + 3 x} + \frac{7}{6 - 5 x} < 0$

$\frac{4 ( 6 - 5 x )}{( 5 + 3 x ) ( 6 - 5 x )} + \frac{7 ( 5 + 3 x )}{( 6 - 5 x ) ( 5 + 3 x )} < 0$

$\frac{24 - 20 x}{( 5 + 3 x ) ( 6 - 5 x )} + \frac{35 + 21 x}{( 6 - 5 x ) ( 5 + 3 x )} < 0$

$\frac{24 - 20 x + 35 + 21 x}{( 6 - 5 x ) ( 5 + 3 x )} < 0$

$\frac{x + 59}{( 6 - 5 x ) ( 5 + 3 x )} < 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(x + 59) (6 - 5 x) (5 + 3 x) < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (x + 59) (6 - 5 x) (5 + 3 x) .$

$(x + 59) (6 - 5 x) (5 + 3 x) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x + 59 = 0 \lor 6 - 5 x = 0 \lor 5 + 3 x = 0$

$x = - 59 \lor - 5 x = - 6 \lor 3 x = - 5$

$x = - 59 \lor x = \frac{6}{5} \lor x = - \frac{5}{3}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 59 \lor 1-kr x = - \frac{5}{3} \lor 1-kr x = \frac{6}{5}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- 59; - \frac{5}{3}) \cup (\frac{6}{5}; + \infty)$

d) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x - 2 \neq = 0 \land 8 x \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = 0$

Zatem:

$D = R \ {0, 2}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{1}{x - 2} < \frac{7}{8 x} ∣ - \frac{7}{8 x}$

$\frac{1}{x - 2} - \frac{7}{8 x} < 0$

$\frac{8 x}{8 x ( x - 2 )} - \frac{7 ( x - 2 )}{8 x ( x - 2 )} < 0$

$\frac{8 x}{8 x ( x - 2 )} - \frac{7 x - 14}{8 x ( x - 2 )} < 0$

$\frac{8 x - ( 7 x - 14 )}{8 x ( x - 2 )} < 0$

$\frac{8 x - 7 x + 14}{8 x ( x - 2 )} < 0$

$\frac{x + 14}{8 x ( x - 2 )} < 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(x + 14) \cdot 8 x (x - 2) < 0$

$8 x (x + 14) (x - 2) < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = 8 x (x + 14) (x - 2) .$

$8 x (x + 14) (x - 2) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$8 x = 0 \lor x + 14 = 0 \lor x - 2 = 0$

$x = 0 \lor x = - 14 \lor x = 2$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 14 \lor 1-kr x = 0 \lor 1-kr x = 2$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - 14) \cup (0; 2)$

e) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$5 - 3 x \neq = 0 \land 4 x + 1 \neq = 0$

$- 3 x \neq = - 5 \land 4 x \neq = - 1$

$x \neq = \frac{5}{3} \land x \neq = - \frac{1}{4}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{1}{4}, \frac{5}{3}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{3}{5 - 3 x} \geq \frac{2}{4 x + 1} ∣ - \frac{2}{4 x + 1}$

$\frac{3}{5 - 3 x} - \frac{2}{4 x + 1} \geq 0$

$\frac{3 ( 4 x + 1 )}{( 5 - 3 x ) ( 4 x + 1 )} - \frac{2 ( 5 - 3 x )}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 3 x )} \geq 0$

$\frac{12 x + 3}{( 5 - 3 x ) ( 4 x + 1 )} - \frac{10 - 6 x}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 3 x )} \geq 0$

$\frac{12 x + 3 - ( 10 - 6 x )}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 3 x )} \geq 0$

$\frac{12 x + 3 - 10 + 6 x}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 3 x )} \geq 0$

$\frac{18 x - 7}{( 4 x + 1 ) ( 5 - 3 x )} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(18 x - 7) (4 x + 1) (5 - 3 x) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (18 x - 7) (4 x + 1) (5 - 3 x) .$

$(18 x - 7) (4 x + 1) (5 - 3 x) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$18 x - 7 = 0 \lor 4 x + 1 = 0 \lor 5 - 3 x = 0$

$18 x = 7 \lor 4 x = - 1 \lor - 3 x = - 5$

$x = \frac{7}{18} \lor x = - \frac{1}{4} \lor x = \frac{5}{3}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - \frac{1}{4} \lor 1-kr x = \frac{7}{18} \lor 1-kr x = \frac{5}{3}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - \frac{1}{4} ⟩ \cup ⟨ \frac{7}{18}; \frac{5}{3} ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- \infty; - \frac{1}{4}) \cup ⟨ \frac{7}{18}; \frac{5}{3})$

f) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$6 x - 2 \neq = 0 \land 3 - 5 x \neq = 0$

$6 x \neq = 2 \land - 5 x \neq = - 3$

$x \neq = \frac{1}{3} \land x \neq = \frac{3}{5}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{1}{3}, \frac{3}{5}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{- 5}{6 x - 2} \leq \frac{6}{3 - 5 x} ∣ - \frac{6}{3 - 5 x}$

$\frac{- 5}{6 x - 2} - \frac{6}{3 - 5 x} \leq 0$

$\frac{- 5 ( 3 - 5 x )}{( 6 x - 2 ) ( 3 - 5 x )} - \frac{6 ( 6 x - 2 )}{( 3 - 5 x ) ( 6 x - 2 )} \leq 0$

$\frac{- 15 + 25 x}{( 6 x - 2 ) ( 3 - 5 x )} - \frac{36 x - 12}{( 3 - 5 x ) ( 6 x - 2 )} \leq 0$

$\frac{- 15 + 25 x - ( 36 x - 12 )}{( 3 - 5 x ) ( 6 x - 2 )} \leq 0$

$\frac{- 15 + 25 x - 36 x + 12}{( 3 - 5 x ) ( 6 x - 2 )} \leq 0$

$\frac{- 11 x - 3}{( 3 - 5 x ) ( 6 x - 2 )} \leq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- 11 x - 3) (3 - 5 x) (6 x - 2) \leq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (- 11 x - 3) (3 - 5 x) (6 x - 2) .$

$(- 11 x - 3) (3 - 5 x) (6 x - 2) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$- 11 x - 3 = 0 \lor 3 - 5 x = 0 \lor 6 x - 2 = 0$

$- 11 x = 3 \lor - 5 x = - 3 \lor 6 x = 2$

$x = - \frac{3}{11} \lor x = \frac{3}{5} \lor x = \frac{1}{3}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = \frac{3}{11} \lor 1-kr x = \frac{1}{3} \lor 1-kr x = \frac{3}{5}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - \frac{3}{11} ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{3}; \frac{3}{5} ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- \infty; - \frac{3}{11} ⟩ \cup (\frac{1}{3}; \frac{3}{5})$

g) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$5 x + 3 \neq = 0 \land 3 + 10 x \neq = 0$

$5 x \neq = - 3 \land 10 x \neq = - 3$

$x \neq = - \frac{3}{5} \land x \neq = - \frac{3}{10}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{3}{5}, - \frac{3}{10}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{2 - x}{5 x + 3} < \frac{1 - 2 x}{3 + 10 x} ∣ - \frac{1 - 2 x}{3 + 10 x}$

$\frac{2 - x}{5 x + 3} - \frac{1 - 2 x}{3 + 10 x} < 0$

$\frac{( 2 - x ) ( 3 + 10 x )}{( 5 x + 3 ) ( 3 + 10 x )} - \frac{( 1 - 2 x ) ( 5 x + 3 )}{( 3 + 10 x ) ( 5 x + 3 )} < 0$

$\frac{6 + 20 x - 3 x - 10 x ^{2}}{( 5 x + 3 ) ( 3 + 10 x )} - \frac{5 x + 3 - 10 x ^{2} - 6 x}{( 3 + 10 x ) ( 5 x + 3 )} < 0$

$\frac{6 + 17 x - 10 x ^{2}}{( 5 x + 3 ) ( 3 + 10 x )} - \frac{- 10 x ^{2} - x + 3}{( 3 + 10 x ) ( 5 x + 3 )} < 0$

$\frac{6 + 17 x - 10 x ^{2} - ( - 10 x ^{2} - x + 3 )}{( 3 + 10 x ) ( 5 x + 3 )} < 0$

$\frac{6 + 17 x - 10 x ^{2} + 10 x ^{2} + x - 3}{( 3 + 10 x ) ( 5 x + 3 )} < 0$

$\frac{18 x + 3}{( 3 + 10 x ) ( 5 x + 3 )} < 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(18 x + 3) (3 + 10 x) (5 x + 3) < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (18 x + 3) (3 + 10 x) (5 x + 3) .$

$(18 x + 3) (3 + 10 x) (5 x + 3) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$18 x + 3 = 0 \lor 3 + 10 x = 0 \lor 5 x + 3 = 0$

$18 x = - 3 \lor 10 x = - 3 \lor 5 x = - 3$

$x = - \frac{1}{6} \lor x = - \frac{3}{10} \lor x = - \frac{3}{5}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - \frac{3}{5} \lor 1-kr x = - \frac{3}{10} \lor 1-kr x = - \frac{1}{6}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - \frac{3}{5}) \cup (- \frac{3}{10}; - \frac{1}{6})$

h) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$4 - 3 x \neq = 0 \land 3 + 6 x \neq = 0$

$- 3 x \neq = - 4 \land 6 x \neq = - 3$

$x \neq = \frac{4}{3} \land x \neq = - \frac{1}{2}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{1}{2}, \frac{4}{3}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{5 x + 2}{4 - 3 x} > \frac{- 10 x}{3 + 6 x} ∣ - \frac{- 10 x}{3 + 6 x}$

$\frac{5 x + 2}{4 - 3 x} - \frac{- 10 x}{3 + 6 x} > 0$

$\frac{5 x + 2}{4 - 3 x} + \frac{10 x}{3 + 6 x} > 0$

$\frac{( 5 x + 2 ) ( 3 + 6 x )}{( 4 - 3 x ) ( 3 + 6 x )} + \frac{10 x ( 4 - 3 x )}{( 3 + 6 x ) ( 4 - 3 x )} > 0$

$\frac{15 x + 30 x ^{2} + 6 + 12 x}{( 4 - 3 x ) ( 3 + 6 x )} + \frac{40 x - 30 x ^{2}}{( 3 + 6 x ) ( 4 - 3 x )} > 0$

$\frac{30 x ^{2} + 27 x + 6}{( 4 - 3 x ) ( 3 + 6 x )} + \frac{40 x - 30 x ^{2}}{( 3 + 6 x ) ( 4 - 3 x )} > 0$

$\frac{30 x ^{2} + 27 x + 6 + 40 x - 30 x ^{2}}{( 3 + 6 x ) ( 4 - 3 x )} > 0$

$\frac{67 x + 6}{( 3 + 6 x ) ( 4 - 3 x )} > 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(67 x + 6) (3 + 6 x) (4 - 3 x) > 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (67 x + 6) (3 + 6 x) (4 - 3 x) .$

$(67 x + 6) (3 + 6 x) (4 - 3 x) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$67 x + 6 = 0 \lor 3 + 6 x = 0 \lor 4 - 3 x = 0$

$67 x = - 6 \lor 6 x = - 3 \lor - 3 x = - 4$

$x = - \frac{6}{67} \lor x = - \frac{1}{2} \lor x = \frac{4}{3}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - \frac{1}{2} \lor 1-kr x = - \frac{6}{67} \lor 1-kr x = \frac{4}{3}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{6}{67}; \frac{4}{3})$

i) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$4 x - 7 \neq = 0 \land 5 - 4 x \neq = 0$

$4 x \neq = 7 \land - 4 x \neq = - 5$

$x \neq = \frac{7}{4} \land x \neq = \frac{5}{4}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{5}{4}, \frac{7}{4}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{3 x - 2}{4 x - 7} \leq \frac{1 - 3 x}{5 - 4 x} ∣ - \frac{1 - 3 x}{5 - 4 x}$

$\frac{3 x - 2}{4 x - 7} - \frac{1 - 3 x}{5 - 4 x} \leq 0$

$\frac{( 3 x - 2 ) ( 5 - 4 x )}{( 4 x - 7 ) ( 5 - 4 x )} - \frac{( 1 - 3 x ) ( 4 x - 7 )}{( 5 - 4 x ) ( 4 x - 7 )} \leq 0$

$\frac{15 x - 12 x ^{2} - 10 + 8 x}{( 4 x - 7 ) ( 5 - 4 x )} - \frac{4 x - 7 - 12 x ^{2} + 21 x}{( 5 - 4 x ) ( 4 x - 7 )} \leq 0$

$\frac{- 12 x ^{2} + 23 x - 10}{( 4 x - 7 ) ( 5 - 4 x )} - \frac{- 12 x ^{2} + 25 x - 7}{( 5 - 4 x ) ( 4 x - 7 )} \leq 0$

$\frac{- 12 x ^{2} + 23 x - 10 - ( - 12 x ^{2} + 25 x - 7 )}{( 5 - 4 x ) ( 4 x - 7 )} \leq 0$

$\frac{- 12 x ^{2} + 23 x - 10 + 12 x ^{2} - 25 x + 7}{( 5 - 4 x ) ( 4 x - 7 )} \leq 0$

$\frac{- 2 x - 3}{( 5 - 4 x ) ( 4 x - 7 )} \leq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(- 2 x - 3) (5 - 4 x) (4 x - 7) \leq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (- 2 x - 3) (5 - 4 x) (4 x - 7) .$

$(- 2 x - 3) (5 - 4 x) (4 x - 7) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$- 2 x - 3 = 0 \lor 5 - 4 x = 0 \lor 4 x - 7 = 0$

$- 2 x = 3 \lor - 4 x = - 5 \lor 4 x = 7$

$x = - \frac{3}{2} \lor x = \frac{5}{4} \lor x = \frac{7}{4}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - \frac{3}{2} \lor 1-kr x = \frac{5}{4} \lor 1-kr x = \frac{7}{4}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - \frac{3}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{5}{4}; \frac{7}{4} ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- \infty; - \frac{3}{2} ⟩ \cup (\frac{5}{4}; \frac{7}{4})$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.