Rozwiąż nierówność ...- Zadanie 8: Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 1 \neq = 0 \land x (x - 1) \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land (x + 1) (x - 1) \neq = 0$

$x + 1 \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land x \neq = 0 \land x \neq = 1$

Zatem:

$D = R \ {- 1, 0, 1}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{x + 1}{x ( x - 1 )} + \frac{1}{x - 1} \geq \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$

$\frac{x ( x - 1 )}{( x + 1 ) x ( x - 1 )} - \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) x ( x + 1 )} \geq \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$

$\frac{x ^{2} - x}{( x + 1 ) x ( x - 1 )} - \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{x ^{2} + x}{( x - 1 ) x ( x + 1 )} \geq \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$

$\frac{x ^{2} - x - ( x ^{2} + 2 x + 1 ) + x ^{2} + x}{( x - 1 ) x ( x + 1 )} \geq \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$

$\frac{x ^{2} - x - x ^{2} - 2 x - 1 + x ^{2} + x}{( x - 1 ) x ( x + 1 )} \geq \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$

$\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) x ( x + 1 )} \geq \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )} ∣ - \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$

$\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) x ( x + 1 )} - \frac{2 x}{( x + 1 ) ( x - 1 )} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) x ( x + 1 )} - \frac{2 x ^{2}}{( x + 1 ) ( x - 1 ) x} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 2 x - 1 - 2 x ^{2}}{( x + 1 ) ( x - 1 ) x} \geq 0$

$\frac{- x ^{2} - 2 x - 1}{( x + 1 ) ( x - 1 ) x} \geq 0$

$\frac{- ( x ^{2} + 2 x + 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 ) x} \geq 0$

$\frac{- ( x + 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ( x - 1 ) x} \geq 0$

$\frac{- ( x + 1 )}{( x - 1 ) x} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$- (x + 1) (x - 1) x \geq 0$

$- x (x + 1) (x - 1) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = - x (x + 1) (x - 1) .$

$- x (x + 1) (x - 1) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$- x = 0 \lor x + 1 = 0 \lor x - 1 = 0$

$x = 0 \lor x = - 1 \lor x = 1$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = - 1 \lor 1-kr x = 0 \lor 1-kr x = 1$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc zaczynamy pod osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - 1 ⟩ \cup ⟨ 0; 1 ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in (- \infty; - 1) \cup (0; 1)$

b) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$2 x - 1 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0 \land 2 x - 1 \neq = 0 \land (2 x - 1)^{2} \neq = 0$

$2 x - 1 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$2 x \neq = 1 \land x \neq = 2$

$x \neq = \frac{1}{2} \land x \neq = 2$

Zatem:

$D = R \ {\frac{1}{2}, 2}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x + 3}{2 x - 1} - \frac{1}{x - 2} \geq \frac{x - 1}{2 x - 1} - \frac{5 x}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

$\frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} - \frac{2 x - 1}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} \geq \frac{( x - 1 ) ( 2 x - 1 )}{( 2 x - 1 ) ^{2}} - \frac{5 x}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

$\frac{x ^{2} - 2 x + 3 x - 6}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} - \frac{2 x - 1}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} \geq \frac{2 x ^{2} - x - 2 x + 1}{( 2 x - 1 ) ^{2}} - \frac{5 x}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

$\frac{x ^{2} + x - 6}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} - \frac{2 x - 1}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} \geq \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{( 2 x - 1 ) ^{2}} - \frac{5 x}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

$\frac{x ^{2} + x - 6 - ( 2 x - 1 )}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} \geq \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1 - 5 x}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

$\frac{x ^{2} + x - 6 - 2 x + 1}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} \geq \frac{2 x ^{2} - 8 x + 1}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

$\frac{x ^{2} - x - 5}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} \geq \frac{2 x ^{2} - 8 x + 1}{( 2 x - 1 ) ^{2}} ∣ - \frac{2 x ^{2} - 8 x + 1}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

$\frac{x ^{2} - x - 5}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} - \frac{2 x ^{2} - 8 x + 1}{( 2 x - 1 ) ^{2}} \geq 0$

$\frac{( x ^{2} - x - 5 ) ( 2 x - 1 )}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 ) ^{2}} - \frac{( 2 x ^{2} - 8 x + 1 ) ( x - 2 )}{( 2 x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )} \geq 0$

$\frac{2 x ^{3} - x ^{2} - 2 x ^{2} + x - 10 x + 5}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 ) ^{2}} - \frac{2 x ^{3} - 4 x ^{2} - 8 x ^{2} + 16 x + x - 2}{( 2 x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )} \geq 0$

$\frac{2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + 5}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 ) ^{2}} - \frac{2 x ^{3} - 12 x ^{2} + 17 x - 2}{( 2 x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )} \geq 0$

$\frac{2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + 5 - ( 2 x ^{3} - 12 x ^{2} + 17 x - 2 )}{( 2 x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )} \geq 0$

$\frac{2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + 5 - 2 x ^{3} + 12 x ^{2} - 17 x + 2}{( 2 x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )} \geq 0$

$\frac{9 x ^{2} - 26 x + 7}{( 2 x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )} \geq 0$

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$(9 x^{2} - 26 x + 7) (2 x - 1)^{2} (x - 2) \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y = (9 x^{2} - 26 x + 7) (2 x - 1)^{2} (x - 2) .$

$(9 x^{2} - 26 x + 7) (2 x - 1)^{2} (x - 2) = 0$

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$9 x^{2} - 26 x + 7 = 0 \lor (2 x - 1)^{2} = 0 \lor x - 2 = 0$

$9 x^{2} - 26 x + 7 = 0 \lor 2 x - 1 = 0 \lor x = 2$

$9 x^{2} - 26 x + 7 = 0 \lor 2 x = 1 \lor x = 2$

$9 x^{2} - 26 x + 7 = 0 \lor x = \frac{1}{2} \lor x = 2$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 26)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 676 - 252 = 424$

Wyznaczamy pierwiastki równania $9 x^{2} - 26 x + 7 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- ( - 26 ) - 424}{2 \cdot 9} = \frac{26 - 2 106}{18} = \frac{13 - 106}{9}$

$x_{2} = \frac{- ( - 26 ) + 424}{2 \cdot 9} = \frac{26 + 2 106}{18} = \frac{13 + 106}{9}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = \frac{13 - 106}{9} \lor 2-kr x = \frac{1}{2} \lor 1-kr x = 2 \lor 1-kr x = \frac{13 + 106}{9}$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in ⟨ \frac{13 - 106}{9}; 2 ⟩ \cup ⟨ \frac{13 + 106}{9}; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x \in ⟨ \frac{13 - 106}{9}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 2) \cup ⟨ \frac{13 + 106}{9}; + \infty)$

Uwaga! Odpowiedź podana w książce jest błędna.

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.