Najpierw określimy dziedzinę danej nierówności.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$\left(x-1\right)\left(x-4\right)\ne 0$  

$x-1\ne 0\wedge x-4\ne 0$  

$x\ne 1\wedge x\ne 4$  

Zatem: 

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{1,4\right\}$  

Rozwiązujemy daną nierówność. 

$\frac{-x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\ge 0$  

$\frac{-\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\ge 0$  

$\frac{-\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\ge 0$  

$\frac{-\left(x+1\right)}{x-4}\ge 0$  

Nierówność wymierną zastępujemy nierównością wielomianową.

$-\left(x+1\right)\left(x-4\right)\ge 0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\left(x+1\right)\left(x-4\right)\le 0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $y=\left(x+1\right)\left(x-4\right).$  

$\left(x+1\right)\left(x-4\right)=0$  

Rozwiążemy równanie, korzystając z faktu, że iloczyn kilku liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x+1=0\vee x-4=0$  

$x=-1\vee x=4$  

Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry (współczynnik przy $x^2$  jest dodatni) i przecinającą oś  $x$  w punktach o pierwszych współrzędnych  $x=-1$  i  $x=4.$  

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x\in ⟨-1;4⟩$  

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania nierówności wielomianowej, które spełniają założenia.

$x\in ⟨-1;1)\cup \left(1;4\right)$  

Liczby całkowite należące do tego przedziału, to:

$-1,0,2,3$  

Są 4 takie liczby.

---

Odpowiedź: A