Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Wiemy, że $a$  i  $b$  są kolejnymi liczbami naturalnymi. Możemy więc przyjąć, że:

$b=a+1,$  

gdzie  $a\in \mathbb{N}.$  

Wiemy również, że  $c\in \mathbb{N}.$  

Trójkąt o bokach długości  $a,$   $b,$   $c$  jest prostokątny. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równość:

$a^2+b^2=c^2$  

Po podstawieniu dostajemy:

$a^2+{\left(a+1\right)}^2=c^2$  

Przekształcamy daną równość. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$a^2+a^2+2a+1=c^2$  

$2a^2+2a+1=c^2$  

$2a\left(a+1\right)+1=c^2$  

$2a\cdot b+1=c^2$  

$2ab+1=c^2$  

Lewa strona równości jest sumą liczby naturalnej parzystej (iloczyn liczby 2 i pewnych dwóch liczb naturalnych) i liczby 1, a więc jest liczbą nieparzystą. Gdyby liczba  $c$  była parzysta, to jej kwadrat również byłby liczba parzystą (iloczyn dwóch liczb parzystych jest parzysty). Oznacza to, że liczba  $c$  jest nieparzysta.

Co należało wykazać.