4 szkoły ponadpodstawowej

5 szkoły ponadpodstawowej

IV technikum

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Rozwiązanie 1

Wyznaczymy zbiór punktów (x,y), których odległość od początku układu współrzędnych jest dwa razy większa niż odległość od prostej x-y√3=0.
<hr>
Odległość punktu (x,y) od początku układu współrzędnych czyli od punktu (0,0) jest równa
x2+y2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119
c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120
c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
l0 -0
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11
H40000v40H1012.3
s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232
c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1
s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26
c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &nbsp;

Zauważmy, że współrzędne dowolnego punktu A paraboli y=0,25x2+1=1/4 x2+1 możemy zapisać jako A=(a; 1/4a2+1).

Oznaczmy przez P=(a,b) współrzędne punktu, spełniającego warunki zadania.  <hr> Przekształcając równanie danej prostej y+1=0 do postaci kierunkowej mamy y=-1. <hr> Przekształcając podane równanie okręgu otrzymujemy

Zauważmy, że środkiem okręgu x2+y2=4 jest punkt O=(0,0), a promień tego okręgu ma długość R=2.  <hr> Oznaczmy przez S=(x,y) środek okręgu stycznego wewnętrznie do okręgu x2+y2=4 i stycznego do prostej y=0. Poniżej rysunek pomocniczy

Zauważmy, że środkiem okręgu x2+(y-2)2=1 jest punkt O=(0,2), a promień tego okręgu ma długość 1.  <hr> Oznaczmy przez S=(x,y) środek okręgu stycznego zewnętrznie do okręgu x2+(y-2)2=1 i stycznego do prostej y=-2. Poniżej rysunek pomocniczy

Zamieniamy podany ułamek okresowy 0,(50) na ułamek zwykły. Otrzymujemy:

Obliczamy 4% liczby 12530 i otrzymujemy:

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2021

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2022

Egzamin maturalny Matematyka Poziom rozszerzony 2022

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2017. Arkusz poprawkowy

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020.

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2023

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2023. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2023. Formuła 2015

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018. Drugi termin

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2023

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2023. Formuła 2015

MATeMAtyka 4. Maturalne karty pracy ze zbiorem zadań. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 4. Maturalne karty pracy ze zbiorem zadań. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy. Edycja 2024

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 4. Zakres podstawowy

Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Matematyka do zasadniczych szkół zawodowych 2

Matematyka i przykłady jej zastosowań 4. Zakres podstawowy

Matematyka i przykłady jej zastosowań 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy

Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Matematyka z plusem 4. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka. Próbne arkusze maturalne. Zestaw 1. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbiór Zadań Maturalnych Lata 2002-2022. Poziom rozszerzony 500 zadań CKE z rozwiązaniami

Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2002-2023. Poziom rozszerzony. 545 zadań Centralnej Komisji Egzaminacyjnej z rozwiązaniami

Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2010-2022. Poziom podstawowy. 959 zadań Centralnej Komisji Egzaminacyjnej z rozwiązaniami

Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2010-2023. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część II

Nowa Teraz matura. Arkusze maturalne. Poziom podstawowy

Nowa Teraz matura. Arkusze maturalne. Poziom rozszerzony

Nowa matura z matematyki. Arkusze. Zakres podstawowy i rozszerzony

Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom podstawowy

Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Powtórka do matury z matematyki 2024

Prosto do matury 4. Zakres podstawowy

Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

1 szkoły podstawowej

2 szkoły podstawowej

3 szkoły podstawowej

4 szkoły podstawowej

5 szkoły podstawowej

6 szkoły podstawowej

7 szkoły podstawowej

8 szkoły podstawowej

1 szkoły ponadpodstawowej

2 szkoły ponadpodstawowej

3 szkoły ponadpodstawowej

Matematyka

Język polski

Język angielski

Język niemiecki

Język hiszpański

Język rosyjski

Język francuski

Język włoski

Fizyka

Chemia

Historia

Geografia

Biologia

Przyroda

Edukacja wczesnoszkolna

Informatyka

Technika

Plastyka

Filozofia

location_error

display_error

incomprehensible

typo

book_error

320