Rozważamy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=5\\ xy=-6\end{array}$  

---

Rozwiązanie algebraiczne:

Rozważmy przypadki:

1. x ≥ 0 i y ≥ 0

wyrażenia wewnątrz obu wartości bezwzględnych są nieujemne, więc otrzymujemy 

$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=5-x\\ x\cdot \left(5-x\right)=-6\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}y=5-x\\ -x^2+5x+6=0\end{array}$  

rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$-x^2+5x+6=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 6=25+24=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{-5-7}{-2}=6\Rightarrow y_1=5-6=-1$  

$x_2=\frac{-5+7}{-2}=-1\Rightarrow y_2=5-\left(-1\right)=6$  

uwzględniając założenie dostajemy, że dla x ≥ 0 i y ≥ 0 układ równań nie ma rozwiązania. 

 

2. x ≥ 0 i y < 0

opuszczając znak wartości bezwzględnej dostajemy

$\{\begin{array}{l}x-y=5\\ xy=-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x-5\\ x\cdot \left(x-5\right)=-6\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}y=x-5\\ x^2-5x+6=0\end{array}$  

rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$x^2-5x+6=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{5-1}{2}=2\Rightarrow y_1=2-5=-3$  

$x_2=\frac{5+1}{2}=3\Rightarrow y_2=3-5=-2$  

uwzględniając założenie dostajemy, że rozwiązaniem są pary liczb:

x = 2 i y = -3 lub x = 3 i y = -2

 

3. x < 0 i y ≥ 0

opuszczając znak wartości bezwzględnej dostajemy

$\{\begin{array}{l}-x+y=5\\ xy=-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+5\\ x\cdot \left(x+5\right)=-6\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}y=x+5\\ x^2+5x+6=0\end{array}$  

rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$x^2+5x+6=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-5-1}{2}=-3\Rightarrow y_1=-3+5=2$  

$x_2=\frac{-5+1}{2}=-2\Rightarrow y_2=-2+=3$  

uwzględniając założenie dostajemy, że rozwiązaniem są pary liczb:

x = -3 i y = 2 lub x = -2 i y = 3 

 

4. x < 0 i y < 0

opuszczając znak wartości bezwzględnej dostajemy

$\{\begin{array}{l}-x-y=5\\ xy=-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x-5\\ x\cdot \left(-x-5\right)=-6\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}y=-x-5\\ -x^2-5x+6=0\end{array}$  

rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$-x^2-5x+6=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 6=25+24=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{5-7}{-2}=1\Rightarrow y_1=-1-5=-6$  

$x_2=\frac{5+7}{-2}=-6\Rightarrow y_2=-\left(-6\right)-5=1$  

uwzględniając założenie dostajemy, że dla x < 0 i y < 0 układ równań nie ma rozwiązania. 

 

Z przypadków 1), 2), 3) i 4) dostajemy że rozwiązaniem układu równań są pary liczb:

x=2 i y=-3 lub x=3 i y=-2 lub x=-3 i y=2 lub x=-2 i y=3.

---

Rozwiązanie graficzne:

1.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej rozpisujemy równanie |x|+|y|=5 i otrzymujemy 

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|+y=5\text{,}\text{dla}y\ge 0\\ \left|x\right|-y=5\text{,}\text{dla}y<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\left|x\right|+5\text{,}\text{dla}y\ge 0\\ y=\left|x\right|-5\text{,}\text{dla}y<0\end{array}$  

Wykres funkcji y=-|x|+5 otrzymujemy odbijając symetrycznie względem osi OX wykres funkcji y=|x|, a następnie przesuwając go o 5 jednostek w górę. 

• Szkicujemy wykres funkcji y=-|x|+5 i zaznaczamy część wykresu spełniającą warunek y≥0.

Wykres funkcji y=|x|-5 otrzymujemy przesuwając wykres funkcji y=|x| o 5 jednostek w dół.

• Szkicujemy wykres funkcji y=|x|-5 i zaznaczamy część wykresu spełniającą warunek y<0.

• W jednym układzie współrzędnych szkicujemy oba otrzymane wyżej wykresy i otrzymujemy 

2.

Przekształcając drugie równanie otrzymujemy

$xy=-6\mid :x\ne 0$  

$y=-\frac{6}{x}$  

• Szkicujemy wykres funkcji y=-⁶/_x 

 

• W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy 1) i 2)

rozwiązaniem podanego układu równań są punkty przecięcia narysowanych wykresów,

zatem ten układ równań ma cztery rozwiązania: (-3,2), (-2,3), (2,-3) i (3,-2).