Klasa
4 szkoły ponadpodstawowej
Przedmiot
Matematyka
Wybierz książkę
Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2, Zbiór zadań

272

Rozwiązanie

Poniżej rysunek pomocniczy 


Prosta zawierająca wysokość CD jest prostopadła do prostej 2x+y-1=0, czyli jest postaci 

 

Punkt C=(2,7) leży na tej prostej, otrzymujemy więc 

 

czyli 

 


Wyznaczamy współrzędne punktu M przecięcia prostych 2x+y-1=0 i x-2y+12=0

Otrzymujemy 

  

 

 

 

 

 

czyli 

 


Niech 

 

Punkt M jest środkiem odcinka CD, zatem otrzymujemy 

 

z równości punktów dostajemy

 

 

 

czyli 

  


Wyznaczamy współrzędne punktu K przecięcia prostych 2x+y-1=0 i x+3y-8=0

Otrzymujemy 

 

 

 

 

 

 

więc

 


Zauważmy, że:

  • symetralna wysokości CD przechodzi przez środek boku BC (na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt trójkąty BCD i KCMpodobne, skala podobieństwa trójkąta KCM do trójkąta BCD jest równa 1/2, czyli |KC|=1/2|BC|).
  • środkowa poprowadzona z wierzchołka A (zgodnie z definicją środkowej) również przechodzi przez środek boku BC

Zatem punkt K=(-1,3) przecięcia prostych 2x+y-1=0 i x+3y-8=0 jest środkiem boku BC w trójkącie ABC


Niech 

 

Punkt K jest środkiem odcinka BC zatem mamy 

 

z równości punktów dostajemy 

 

 

 

więc

 


Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty B=(-4,-1) i D=(-6,3)

Otrzymujemy 

 

 

 

 

 


Wyznaczamy współrzędne punktu A przecięcia prostych 2x+y+9=0 i x+3y-8=0

Otrzymujemy 

 

 

 

 

 

więc

 

 

Odp. A = (-7, 5), B = (-4, -1), D = (-6, 3).

Czy ta odpowiedź Ci pomogła?

3

Avatar autora

Paulina

Nauczycielka matematyki

26 871

Lubię wyzwania zarówno w matematyce jak i w życiu prywatnym. Ciągle się dokształcam, a w wolnych chwilach uwielbiam chodzić do teatru.