Dany jest trójkąt ABC, w którym

• AD jest wysokością poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego,
• AE jest dwusieczną,
• AF jest środkową. 

Rysunek poniżej

Niech 

$\left|\sphericalangle DAE\right|=\alpha$  

$\left|\sphericalangle EAF\right|=\beta$  

---

Odcinek AE jest dwusieczną w trójkącie ABC poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego, czyli 

$\left|\sphericalangle CAE\right|=\left|\sphericalangle EAB\right|={45}^{\circ }$  

skąd mamy 

$\left|\sphericalangle DAC\right|={45}^{\circ }-\alpha$

$\left|\sphericalangle FAB\right|={45}^{\circ }-\beta \left(\text{*}\right)$

---

Rozważmy trójkąt prostokątny ACD. 

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180º mamy 

$\left|\sphericalangle ACD\right|={90}^{\circ }-\left|\sphericalangle DAC\right|={90}^{\circ }-\left({45}^{\circ }-\alpha \right)={45}^{\circ }+\alpha$

---

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. 

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180º mamy 

$\left|\sphericalangle ABC\right|={90}^{\circ }-\left|\sphericalangle ACD\right|={90}^{\circ }-\left({45}^{\circ }+\alpha \right)={45}^{\circ }-\alpha$

---

Punkt F jest środkiem przeciwprostokątnej BC w trójkącie ABC, tym samym jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. 

Środek okręgu opisanego na trójkącie jest równoodległy od wierzchołków trójkąta, czyli 

$\left|AF\right|=\left|BF\right|$  

więc trójkąt ABF jest równoramienny, czyli 

$\left|\sphericalangle FAB\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|={45}^{\circ }-\alpha \left(\text{**}\right)$

---

Z (*) i (**) mamy 

${45}^{\circ }-\beta ={45}^{\circ }-\alpha$

$-\beta =-\alpha$

$\beta =\alpha$  

 

c.n.d.