Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Zauważmy, że dwusieczna CD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty BCD i ACD. 

---

Trójkąt BCD jest równoramienny (|∢DCB|=|CBD|=𝛼) skąd mamy |BD| = |CD| = x.

---

Trójkąt ACD podobny do trójkąta ABC (na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt), skąd dostajemy zależność

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\mid \cdot xy$

$ay=bx\mid :a$

$y=\frac{b}{a}x$

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD mamy     

$x^2=x^2+a^2-2ax\cos \alpha$

$0=a^2-2ax\cos \alpha$

$2ax\cos \alpha =a^2\mid :2ax>0$  

$\cos \alpha =\frac{a}{2x}$    

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACD mamy     

$y^2=b^2+x^2-2bx\cos \alpha$

${\left(\frac{b}{a}x\right)}^2=b^2+x^2-2bx\cdot \frac{a}{2x}$  

$\frac{b^2}{a^2}{x}^2=b^2+x^2-ab$

$\frac{b^2}{a^2}{x}^2-x^2=b^2-ab$

$x^2\left(\frac{b^2}{a^2}-1\right)=b\left(b-a\right)$  

$x^2\left(\frac{b^2-a^2}{a^2}\right)=b\left(b-a\right)$  

$x^2\left(\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2}\right)=b\left(b-a\right)\mid :\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2}\ne 0$    

$x^2=\frac{a^{2}b}{b+a}\text{i}x>0$

więc

$x=a\sqrt{\frac{b}{a+b}}$  

---

Zatem

$y=\frac{b}{a}\cdot a\sqrt{\frac{b}{a+b}}=b\sqrt{\frac{b}{a+b}}$  

czyli 

$x+y=a\sqrt{\frac{b}{a+b}}+b\sqrt{\frac{b}{a+b}}=\left(a+b\right)\cdot \sqrt{\frac{b}{a+b}}=$   

$=\sqrt{a+b}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)b}$