I liceum

II liceum

III liceum

I technikum

II technikum

III technikum

IV technikum

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Punkty należące do osi OX mają drugą współrzędną równą 0 , zatem:&nbsp;

Rozwiążmy podaną nierówność: (x−9)2≤0 &nbsp; ∣x−9∣≤0 &nbsp;

Obliczmy współrzędne punktu wspólnego prostych o podanych wzorach:

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji&nbsp; y=x2+2x−3 &nbsp;: Δ=22−4⋅1⋅(−3)=4+12=16, Δ<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=4 &nbsp; x1​=2−2−4​=2−6​=−3 &nbsp; x2​=2−2+4​=22​=1 &nbsp; Współczynnik kierunkowy we wzorze tej funkcji jest liczbą dodatnią, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane w górę. &nbsp; Odp.: A

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji h są skierowane w górę, a wierzchołek tej paraboli ma współrzędne:

Rozwiążmy nierówność: f(k)&lt;0 &nbsp; k2−8&lt;0 &nbsp;

A. f(x)=(x+2)2−2 &nbsp; Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji to&nbsp; (−2,−2) ramiona tej paraboli są skierowane w górę, więc zbiór wartości funkcji f to:&nbsp;

Wzór funkcji g jest postaci: g(x)=a(x−4)2−5 &nbsp; Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych (1,5) , zatem: 5=a(1−4)2−5 &nbsp;

Mamy znaleźć wzór funkcji, której odcięta wierzchołka wynosi&nbsp; 4 : A. f(x)=−x2+4 &nbsp; p=−20​=0=4 &nbsp;&nbsp; <hr> B. f(x)=−x2−8x+4 &nbsp; p=−−2−8​=−28​=−4=4 &nbsp; <hr> C. f(x)=−x2−4x+4 &nbsp; p=−−2−4​=−24​=−2=4 &nbsp; <hr> D. f(x)=−x2+8x+4 &nbsp; p=−2−8​=4 &nbsp; &nbsp; Odp.: D

Punkty należące do osi OX mają drugą współrzędną równą <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5feceb66ffc86f38d952786c6d696c79c2dbc239dd4e91b46729d73a27fb57e9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5feceb66ffc86f38d952786c6d696c79c2dbc239dd4e91b46729d73a27fb57e9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> , zatem:&nbsp;

Rozwiążmy podaną nierówność: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/42d61499c382d4d7f0186ea9506913a460b4d64b2fa186013927090ec01a1f66_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/42d61499c382d4d7f0186ea9506913a460b4d64b2fa186013927090ec01a1f66_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/76ad93153cc3bf668552658b6275313e6fd57c5eeaceea8697b952d3d72bb407_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/76ad93153cc3bf668552658b6275313e6fd57c5eeaceea8697b952d3d72bb407_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/73f71b43cbef67b67a845f17aaee384b9c3dc7fd56a149256fe5765005d87c9e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/73f71b43cbef67b67a845f17aaee384b9c3dc7fd56a149256fe5765005d87c9e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a8112b5783db6ec053a7ffdba67994f2bf6c121959da82d370f572ec71e934b7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a8112b5783db6ec053a7ffdba67994f2bf6c121959da82d370f572ec71e934b7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14c7daf2c6ccaae60d93a0819665eb1bea5ec76bb069669e5b00c9b885f4f94c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14c7daf2c6ccaae60d93a0819665eb1bea5ec76bb069669e5b00c9b885f4f94c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b54b5a9a4ff573bcf3bc6bd8ec6da1ca760784b439a9bf9b8fced916f4d03d9a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b54b5a9a4ff573bcf3bc6bd8ec6da1ca760784b439a9bf9b8fced916f4d03d9a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Współczynnik kierunkowy we wzorze tej funkcji jest liczbą dodatnią, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane w górę. &nbsp; Odp.: A

Rozwiążmy nierówność: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d85a1af8d09670f039ec1317460cceffa201a6035ccd2502b15d4c30ad15595_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d85a1af8d09670f039ec1317460cceffa201a6035ccd2502b15d4c30ad15595_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a534ceca0e196cb90b5ce8ef109e0db498275d6dd96f2c945cc2d4948457e7fc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a534ceca0e196cb90b5ce8ef109e0db498275d6dd96f2c945cc2d4948457e7fc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Wzór funkcji g jest postaci: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/946c95c4a0622e9a654c9bb7d04a1953ceed24f6c4dbdb06dabffb1fd305af09_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/946c95c4a0622e9a654c9bb7d04a1953ceed24f6c4dbdb06dabffb1fd305af09_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/70689ba7ab21f6de6ed47c33b1eb3ecfe1832d0e2c90e02e07b76098ca0a3d63_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/70689ba7ab21f6de6ed47c33b1eb3ecfe1832d0e2c90e02e07b76098ca0a3d63_big.svg" type="image/svg+xml"></object> , zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d59b23abc9be1af48d56a970f85e720a0a02ed65acdd37f3890e0a61a4fae1ec_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d59b23abc9be1af48d56a970f85e720a0a02ed65acdd37f3890e0a61a4fae1ec_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Mamy znaleźć wzór funkcji, której odcięta wierzchołka wynosi&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b227777d4dd1fc61c6f884f48641d02b4d121d3fd328cb08b5531fcacdabf8a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b227777d4dd1fc61c6f884f48641d02b4d121d3fd328cb08b5531fcacdabf8a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> : <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/438cbcbc9ea1ab4ad0b09db70de5f0d48a2119fb497805a66b2ea051ac9a7199_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/438cbcbc9ea1ab4ad0b09db70de5f0d48a2119fb497805a66b2ea051ac9a7199_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e90136456a798e8fdb7afa72b8cd98a37d75a8930c494a3db7c6f8bff8802fb8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e90136456a798e8fdb7afa72b8cd98a37d75a8930c494a3db7c6f8bff8802fb8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/04453a77fdf56a7fca11f6b85819dc0a5995995802b66c6c1e3bef42032f2959_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/04453a77fdf56a7fca11f6b85819dc0a5995995802b66c6c1e3bef42032f2959_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b6cc635c56b7522b8db6f8b593d7e7db00752569c0a3ac510b7bc8604c6c3abd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b6cc635c56b7522b8db6f8b593d7e7db00752569c0a3ac510b7bc8604c6c3abd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bc194f2726442f5deabcf86ebd6c142edc96f6e4c6017d17a39b5df58f0da825_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bc194f2726442f5deabcf86ebd6c142edc96f6e4c6017d17a39b5df58f0da825_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ce084470acb151c28e5abe31de90a8661bf8c3738f52834e331e31eb736d4d52_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ce084470acb151c28e5abe31de90a8661bf8c3738f52834e331e31eb736d4d52_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9ba907e0109cdd191bfc3a7c09083972cc4fa4733ee45c49ee237c65182a6046_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9ba907e0109cdd191bfc3a7c09083972cc4fa4733ee45c49ee237c65182a6046_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0ac700c31eaa29b1c0bba5942bcf323450fbfef2a51b08afeccb5fc561d4cb0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0ac700c31eaa29b1c0bba5942bcf323450fbfef2a51b08afeccb5fc561d4cb0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp.: D

Komentarze