Klasa
II liceum
Przedmiot
Matematyka
Wybierz książkę
Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019, Zbiór zadań
  • 6.68

    Zadanie

  • 6.69

    Zadanie

  • 6.70

    Zadanie

ak:x+y=0, p:y=x22{a}\text{)}\ {k}:{x}+{y}={0},\ {p}:{y}={x}^{{2}}-{2} 

Sprawdźmy czy prosta k i parabola p mają punkty wspólne:

{x+y=0y=x22{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{y}={0}\\{y}={x}^{{2}}-{2}\end{array}\right.} 

{x+x22=0y=x22{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{x}^{{2}}-{2}={0}\\{y}={x}^{{2}}-{2}\end{array}\right.} 

Rozwiążmy równanie:  

x2+x2=0{x}^{{2}}+{x}-{2}={0}  

Δ=1241(2)=1+8=9, Δ=3\Delta={1}^{{2}}-{4}\cdot{1}\cdot{\left(-{2}\right)}={1}+{8}={9},\ \sqrt{\Delta}={3} 

x1=132=42=2{x}_{{1}}=\frac{{-{1}-{3}}}{{2}}=\frac{{-{4}}}{{2}}=-{2} 

x2=1+32=22=1{x}_{{2}}=\frac{{-{1}+{3}}}{{2}}=\frac{{2}}{{2}}={1} 

zatem:

y1=(2)22=42=2{y}_{{1}}={\left(-{2}\right)}^{{2}}-{2}={4}-{2}={2} 

y2=122=12=1{y}_{{2}}={1}^{{2}}-{2}={1}-{2}=-{1} 

Punkty wspólne prostej k i paraboli p mają współrzędne:

(2,2);  (1,1){\left(-{2},{2}\right)};\ \ {\left({1},-{1}\right)} 


bk:y=x+3, p:y=2x2+8x4{b}\text{)}\ {k}:{y}={x}+{3},\ {p}:{y}=-{2}{x}^{{2}}+{8}{x}-{4} 

Sprawdźmy czy prosta k i parabola p mają punkty wspólne:

{y=x+3y=2x2+8x4{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={x}+{3}\\{y}=-{2}{x}^{{2}}+{8}{x}-{4}\end{array}\right.} 

{y=x+3x+3=2x2+8x4{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={x}+{3}\\{x}+{3}=-{2}{x}^{{2}}+{8}{x}-{4}\end{array}\right.} 

{y=x+30=2x2+7x7{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={x}+{3}\\{0}=-{2}{x}^{{2}}+{7}{x}-{7}\end{array}\right.} 

Rozwiążmy równanie:

2x2+7x7=0-{2}{x}^{{2}}+{7}{x}-{7}={0} 

Δ=724(2)(7)=4956<0\Delta={7}^{{2}}-{4}\cdot{\left(-{2}\right)}\cdot{\left(-{7}\right)}={49}-{56}<{0} 

To równanie nie ma rozwiązania. 

Prosta k i parabola p nie mają punktów wspólnych.


ck:x2y+7=0, p:y=12(x+1)2{c}\text{)}\ {k}:{x}-{2}{y}+{7}={0},\ {p}:{y}=\frac{{1}}{{2}}{\left({x}+{1}\right)}^{{2}} 

Sprawdźmy czy prosta k i parabola p mają punkty wspólne:

{x2y+7=0y=12(x+1)2{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}-{2}{y}+{7}={0}\\{y}=\frac{{1}}{{2}}{\left({x}+{1}\right)}^{{2}}\end{array}\right.} 

{x+7=2y2y=x2+2x+1{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{7}={2}{y}\\{2}{y}={x}^{{2}}+{2}{x}+{1}\end{array}\right.} 

{x+7=2yx+7=x2+2x+1{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{7}={2}{y}\\{x}+{7}={x}^{{2}}+{2}{x}+{1}\end{array}\right.} 

{x+7=2yx2+x6=0{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{7}={2}{y}\\{x}^{{2}}+{x}-{6}={0}\end{array}\right.} 

{x+72=yx2+x6=0{\left\lbrace\begin{array}{c} \frac{{{x}+{7}}}{{2}}={y}\\{x}^{{2}}+{x}-{6}={0}\end{array}\right.} 

Rozwiążmy równanie:

x2+x6=0{x}^{{2}}+{x}-{6}={0}  

Δ=1241(6)=1+24=25, Δ=5\Delta={1}^{{2}}-{4}\cdot{1}\cdot{\left(-{6}\right)}={1}+{24}={25},\ \sqrt{\Delta}={5} 

x1=152=62=3{x}_{{1}}=\frac{{-{1}-{5}}}{{2}}=\frac{{-{6}}}{{2}}=-{3} 

x2=1+52=42=2{x}_{{2}}=\frac{{-{1}+{5}}}{{2}}=\frac{{4}}{{2}}={2} 

zatem:

y1=3+72=42=2{y}_{{1}}=\frac{{-{3}+{7}}}{{2}}=\frac{{4}}{{2}}={2} 

y2=2+72=92{y}_{{2}}=\frac{{{2}+{7}}}{{2}}=\frac{{9}}{{2}} 

Punkty wspólne prostej k i paraboli p mają współrzędne:

(3,2);  (2,92){\left(-{3},{2}\right)};\ \ {\left({2},\frac{{9}}{{2}}\right)} 


dk:2xy11=0, p:y=x26x+5{d}\text{)}\ {k}:{2}{x}-{y}-{11}={0},\ {p}:{y}={x}^{{2}}-{6}{x}+{5} 

Sprawdźmy czy prosta k i parabola p mają punkty wspólne:

{2xy11=0y=x26x+5{\left\lbrace\begin{array}{c} {2}{x}-{y}-{11}={0}\\{y}={x}^{{2}}-{6}{x}+{5}\end{array}\right.} 

{y=2x11y=x26x+5{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={2}{x}-{11}\\{y}={x}^{{2}}-{6}{x}+{5}\end{array}\right.} 

{y=2x112x11=x26x+5{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={2}{x}-{11}\\{2}{x}-{11}={x}^{{2}}-{6}{x}+{5}\end{array}\right.} 

{y=2x110=x28x+16{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={2}{x}-{11}\\{0}={x}^{{2}}-{8}{x}+{16}\end{array}\right.} 

Rozwiążmy równanie:

x28x+16=0{x}^{{2}}-{8}{x}+{16}={0}  

(x4)2=0{\left({x}-{4}\right)}^{{2}}={0} 

x4=0{x}-{4}={0} 

x=4{x}={4} 

y=2411=811=3{y}={2}\cdot{4}-{11}={8}-{11}=-{3} 

Punkt wspólny prostej k i paraboli p ma współrzędne:

(4,3){\left({4},-{3}\right)} 

 

Komentarze