a) Rozwiązanie algebraiczne:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-6y+5=0\\ x^2+y^2-6x-6y+17=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-3\right)}^2-9+5=0\\ {\left(x-3\right)}^2-9+{\left(y-3\right)}^2-9+17=0\end{array}$       

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-3\right)}^2=4\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(y-3\right)}^2=4-x^2\\ {\left(x-3\right)}^2+4-x^2=1\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{\left(y-3\right)}^2=4-x^2\\ x^2-6x+9+4-x^2=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\left(y-3\right)}^2=4-x^2\\ -6x=-12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\left(y-3\right)}^2=4-x^2\\ x=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\left(y-3\right)}^2=4-2^2\\ x=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\left(y-3\right)}^2=0\\ x=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-3=0\\ x=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=3\\ x=2\end{array}$

Równania okręgów w postaci kanonicznej to:

$x^2+{\left(y-3\right)}^2=4),({\left(x-3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=1$  

więc:

$S_1\left(0,3\right),r_1=2,S_2\left(3,3\right),r_2=1$  

Rysunek:

Współrzędne punktu wspólnego tych okręgów to A(2,3).

---

b) Rozwiązanie algebraiczne:

$-\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x-6y+9=0\\ x^2+y^2+2x-2y-3=0\end{array}$

$\underline{}$  

$-4x-4y+12=0\mid :\left(-4\right)$  

$x+y-3=0$  

$x=3-y$  

zatem:

$x^2+y^2-2x-6y+9=0$  

${\left(3-y\right)}^2+y^2-2\cdot \left(3-y\right)-6y+9=0$  

$9-6y+y^2+y^2-6+2y-6y+9=0$  

$2y^2-10y+12=0$  

$y^2-5y+6=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$y_1=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$y_2=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$  

więc:

$x_1=3-2=1$  

$x_2=3-3=0$  

zatem:

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$  

lub

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3\end{array}$  

 Wyznaczmy równania obu okręgów w postaci kanonicznej.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x-6y+9=0\\ x^2+y^2+2x-2y-3=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2-1+{\left(y-3\right)}^2-9+9=0\\ {\left(x+1\right)}^2-1+{\left(y-1\right)}^2-1-3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=1\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5\end{array}$  

$S_1\left(1,3\right),r_1=1,S_2\left(-1,1\right),r_2=\sqrt{5}$   

Rysunek:

Współrzędne punktów wspólnych tych okręgów to A(0,3) oraz B(1,2).

---

c) Rozwiązanie algebraiczne:

$-\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+8x-4y+16=0\\ x^2+y^2+2x+2y-8=0\end{array}$  

$\underline{}$  

$6x-6y+24=0\mid :6$  

$x-y+4=0$  

$x=y-4$  

zatem:

${\left(y-4\right)}^2+y^2+8\cdot \left(y-4\right)-4y+16=0$  

$y^2-8y+16+y^2+8y-32-4y+16=0$  

$2y^2-4y=0$  

$y^2-2y=0$  

$y\left(y-2\right)=0$  

$y=0\vee y-2=0$  

$y_1=0\vee y_1=2$  

więc:

$x_1=0-4=-4$  

$x_2=2-4=-2$  

zatem:

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=0\end{array}$  

lub

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=2\end{array}$  

Wyznaczmy równania obu okręgów w postaci kanonicznej:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+8x-4y+16=0\\ x^2+y^2+2x+2y-8=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x+4\right)}^2-16+{\left(y-2\right)}^2-4+16=0\\ {\left(x+1\right)}^2-1+{\left(y+1\right)}^2-1-8=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x+4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=10\end{array}$  

$S_1\left(-4,2\right),r_1=2,S_2\left(-1,-1\right),r_2=\sqrt{10}$  

Rysunek:

Współrzędne punktów wspólnych tych okręgów to A(-4,0) oraz B(-2,2).

---

d) Rozwiązanie algebraiczne:

$-\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-10x-4y-7=0\\ x^2+y^2-6x-8y+24=0\end{array}$  

$\underline{}$  

$-4x+4y-31=0$  

$x-y+\frac{31}{4}=0$  

$x=y-\frac{31}{4}$  

zatem:

$x^2+y^2-10x-4y-7=0$  

${\left(y-\frac{31}{4}\right)}^2+y^2-10\cdot \left(y-\frac{31}{4}\right)-4y-7=0$  

$y^2-\frac{31}{2}y+\frac{961}{16}+y^2-10y+\frac{155}{2}-4y-7=0$  

$2y^2-\frac{59}{2}y+\frac{961}{16}+\frac{155}{2}-\frac{14}{2}=0$  

$2y^2-\frac{59}{2}y+\frac{961}{16}+\frac{141}{2}=0$  

$2y^2-\frac{59}{2}y+\frac{961}{16}+\frac{1128}{16}=0$  

$2y^2-\frac{59}{2}y+\frac{2089}{16}=0\mid \cdot 16$  

$32y^2-472y+2089=0$  

$\Delta ={\left(-472\right)}^2-4\cdot 32\cdot 2089=222784-267397<0$  

zatem to równanie nie ma rozwiązania, więc ten układ równań nie ma rozwiązania.

 

Wyznaczmy równania obu okręgów w postaci kanonicznej.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-10x-4y-7=0\\ x^2+y^2-6x-8y+24=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-5\right)}^2-25+{\left(y-2\right)}^2-4-7=0\\ {\left(x-3\right)}^2-9+{\left(y-4\right)}^2-16+24=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=36\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=1\end{array}$  

$S_1\left(5,2\right),r_1=6,S_2\left(3,4\right),r_2=1$  

Rysunek:

Okręgi te nie mają punktów wspólnych.