Wyznacz liczbę rozwiązań równania...- Zadanie 3.244: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) (p - 5) x^{2} - 4 p x + p - 2 = 0$

Rozważymy dwa przypadki:

$1) p - 5 = 0,$ czyli $p = 5$

Wówczas mamy równanie liniowe postaci:

$- 20 x + 3 = 0$

$20 x = 3 / : 20$

$x = \frac{3}{20} -$ rozwiązanie równania

$2) p \neq = 5$

Wówczas mamy równanie kwadratowe postaci:

$(p - 5) x^{2} - 4 p x + p - 2 = 0$

Liczba rozwiązań równania zależy od wyróżnika $Δ :$

$Δ = 16 p^{2} - 4 (p - 2) (p - 5) = 16 p^{2} - 4 (p^{2} - 7 p + 10) = 12 p^{2} + 28 p - 40$

Wygodniej będzie zapisać wyróżnik w postaci iloczynowej. W tym celu obliczamy wyróżnik dla $Δ :$

$Δ^{'} = 784 + 1920 = 2704, Δ^{'} = 52$

$p_{1} = \frac{- 28 - 52}{24} = - \frac{80}{24} = - \frac{10}{3} \lor p_{2} = \frac{- 28 + 52}{24} = 1$

Stąd:

$Δ = 12 (p - 1) (p + \frac{10}{3})$

Szkicujemy wykres dla wyróżnika $Δ :$

Wtedy:

$2 a)$ Równanie nie ma rozwiązań wtedy, gdy:

${Δ < 0 p \neq = 5 \Leftrightarrow {12 (p - 1) (p + \frac{10}{3}) < 0 p \neq = 5 \Leftrightarrow {p \in (- \frac{10}{3}, 1) p \neq = 5 \Leftrightarrow p \in (- \frac{10}{3}, 1)$

$2 b)$ Równanie ma jedno rozwiązanie wtedy, gdy:

${Δ = 0 p \neq = 5 \Leftrightarrow {12 (p - 1) (p + \frac{10}{3}) = 0 p \neq = 5 \Leftrightarrow {p \in {- \frac{10}{3}, 1} p \neq = 5 \Leftrightarrow p \in {- \frac{10}{3}, 1}$

$2 c)$ Równanie ma dwa rozwiązania wtedy, gdy:

${Δ > 0 p \neq = 5 \Leftrightarrow {12 (p - 1) (p + \frac{10}{3}) > 0 p \neq = 5 \Leftrightarrow {p \in (- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (1, + \infty) p \neq = 5 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p \in (- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (1, 5) \cup (5, + \infty)$

Podsumowując:

$1)$ Równanie nie ma rozwiązań dla $p \in (- \frac{10}{3}, 1) .$

$2)$ Równanie ma jedno rozwiązanie dla $p \in {- \frac{10}{3}, 1, 5} .$

$3)$ Równanie ma dwa rozwiązania dla $p \in (- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (1, 5) \cup (5, + \infty) .$

Wobec tego szukana funkcja $y = g (p)$ wyraża się wzorem:

$g (p) = ⎩ ⎨ ⎧ 012 dla p \in (- \frac{10}{3}, 1) dla p \in {- \frac{10}{3}, 1, 5} dla p \in (- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (1, 5) \cup (5, + \infty)$

Szkicujemy wykres funkcji $g :$

$b) (2 p - 3) x^{2} + 4 p x + p - 1 = 0$

Rozważymy dwa przypadki:

$1) 2 p - 3 = 0,$ czyli $p = \frac{3}{2}$

Wówczas mamy równanie liniowe postaci:

$6 x + \frac{1}{2} = 0$

$6 x = - \frac{1}{2} / : 6$

$x = - \frac{1}{12} -$ rozwiązanie równania

$2) p \neq = \frac{3}{2}$

Wówczas mamy równanie kwadratowe postaci:

$(2 p - 3) x^{2} + 4 p x + p - 1 = 0$

Liczba rozwiązań równania zależy od wyróżnika $Δ :$

$Δ = 16 p^{2} - 4 (2 p - 3) (p - 1) = 16 p^{2} - 4 (2 p^{2} - 5 p + 3) = 16 p^{2} - 8 p^{2} + 20 p - 12 = 8 p^{2} + 20 p - 12$

Wygodniej będzie zapisać wyróżnik w postaci iloczynowej. W tym celu obliczamy wyróżnik dla $Δ :$

$Δ^{'} = 400 + 384 = 784, Δ = 28$

$p_{1} = \frac{- 20 - 28}{16} = - 3 \lor p_{2} = \frac{- 20 + 28}{16} = \frac{1}{2}$

Stąd:

$Δ = 8 (p - \frac{1}{2}) (p + 3)$

Szkicujemy wykres dla wyróżnika $Δ :$

Wtedy:

$2 a)$ Równanie nie ma rozwiązań wtedy, gdy:

${Δ < 0 p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {8 (p - \frac{1}{2}) (p + 3) < 0 p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {p \in (- 3, \frac{1}{2}) p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow p \in (- 3, \frac{1}{2})$

$2 b)$ Równanie ma jedno rozwiązanie wtedy, gdy:

${Δ = 0 p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {8 (p - \frac{1}{2}) (p + 3) = 0 p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {p \in {- 3, \frac{1}{2}} p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow p \in {- 3, \frac{1}{2}}$

$2 c)$ Równanie ma dwa rozwiązania wtedy, gdy:

${Δ > 0 p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {8 (p - \frac{1}{2}) (p + 3) > 0 p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {p \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, + \infty) p \neq = \frac{3}{2} \Leftrightarrow p \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

Podsumowując:

$1)$ Równanie nie ma rozwiązań dla $p \in (- 3, \frac{1}{2}) .$

$2)$ Równanie ma jedno rozwiązanie dla $p \in {- 3, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}} .$

$3)$ Równanie ma dwa rozwiązania dla $p \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty) .$

Wobec tego szukana funkcja $y = g (p)$ wyraża się wzorem:

$g (p) = ⎩ ⎨ ⎧ 012 dla p \in (- 3, \frac{1}{2}) dla p \in {- 3, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}} dla p \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$