Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty AEG i ACD oraz BFH i BCD są podobne.

Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta AEG do trójkąta ACD:

$k_1=\frac{\left|AE\right|}{\left|AC\right|}$  

$k_1=\frac{3x}{3x+x}$  

$k_1=\frac{3x}{4x}$  

$k_1=\frac{3}{4}$  

 

Obliczmy pole powierzchni trójkąta ACD:

$\frac{P_{AEG}}{P_{ACD}}={\left(k_1\right)}^2$  

$\frac{9}{P_{ACD}}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$  

$\frac{9}{P_{ACD}}=\frac{9}{16}$  

$P_{ACD}=16$  

 

Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta BFH do trójkąta BCD:

$k_2=\frac{\left|BF\right|}{\left|BC\right|}$  

$k_2=\frac{y}{y+y}$  

$k_2=\frac{y}{2y}$  

$k_2=\frac{1}{2}$  

 

Obliczmy pole powierzchni trójkąta BCD:

$\frac{P_{BFH}}{P_{BCD}}={\left(k_2\right)}^2$  

$\frac{2}{P_{BCD}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$  

$\frac{2}{P_{BCD}}=\frac{1}{4}$  

$P_{BCD}=\frac{2}{\frac{1}{4}}$  

$P_{BCD}=2\cdot 4$  

$P_{BCD}=8$  

 

Obliczmy pole powierzchni trójkąta ABC:

Wiemy, że:

$P_{ABC}=P_{ACD}+P_{BCD}$  

zatem:

$P_{ABC}=16+8$  

$P_{ABC}=24$  

 

Odp.: Pole powierzchni trójkąta ABC wynosi 24.