Ze wzoru na pole trójkąta obliczamy długość boku AB:

$P_1+P_2=\frac{1}{2}\left|AB\right|\cdot \left|AC\right|$  

$6+90=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \left|AB\right|$  

$96=6\left|AB\right|\mid :6$  

$\left|AB\right|=16\left[\text{cm}\right]$  

---

Trójkąty DBE i ABC są podobne na podstawie cechy kkk. Oznaczmy skalę podobieństwa trójkąta DBE do trójkąta ABC jako k. Stosunek pól trójkątów podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa, więc:

$\frac{P_1}{P_1+P_2}=k^2$  

$\frac{6}{6+90}=k^2$  

$\frac{6}{96}=k^2$  

$\frac{1}{16}=k^2$  

$k=\frac{1}{4}$  

---

Korzystając z podobieństwa trójkątów DBE i ABC obliczamy długość boku DE:

$\frac{\left|DE\right|}{\left|AC\right|}=k$  

$\frac{\left|DE\right|}{12}=\frac{1}{4}\mid \cdot 12$  

$\left|DE\right|=3\left[\text{cm}\right]$  

---

Korzystając z podobieństwa trójkątów DBE i ABC obliczamy długość boku DE:

$\frac{\left|EB\right|}{\left|AB\right|}=k$  

$\frac{\left|EB\right|}{16}=\frac{1}{4}\mid \cdot 16$  

$\left|EB\right|=4\left[\text{cm}\right]$  

---

Z tw. Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej BD:

${\left|DE\right|}^2+{\left|EB\right|}^2={\left|BD\right|}^2$  

$3^2+4^2={\left|BD\right|}^2$  

$9+16={\left|BD\right|}^2$  

$25={\left|BD\right|}^2$  

$\left|BD\right|=5\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. |DE| = 3 cm, |EB| = 4 cm, |BD| = 5 cm.