Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AC:

$6^2+8^2={\left|AC\right|}^2$  

$36+64={\left|AC\right|}^2$  

${\left|AC\right|}^2=100$  

$\left|AC\right|=10\text{[cm]}$  

 

Obliczmy długość odcinka h:

$\frac{1}{2}\cdot h\cdot 10=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8$  

$5h=24$  

$h=\frac{24}{5}$  

$h=4,8\text{[cm]}$  

 

Wiemy, że:

$\left|AB\right|+\left|AD\right|+\left|BD\right|=\left|BC\right|+\left|BD\right|+\left|CD\right|$  

$6+\left|AD\right|=8+\left|CD\right|$  

$\left|AD\right|=2+\left|CD\right|$  

oraz:

$\left|AC\right|=\left|AD\right|+\left|CD\right|$  

zatem:

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=2+\left|CD\right|\\ \left|AD\right|+\left|CD\right|=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=2+\left|CD\right|\\ 2+\left|CD\right|+\left|CD\right|=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=2+\left|CD\right|\\ 2\left|CD\right|=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=2+\left|CD\right|\\ \left|CD\right|=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=2+4\\ \left|CD\right|=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=6\\ \left|CD\right|=4\end{array}$  

 

a) Obliczmy pole powierzchni trójkąta ABD:

$P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4,8=3\cdot 4,8=14,4{\text{[cm}}^2\text{]}$  

 

Obliczmy pole powierzchni trójkąta BCD:

$P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4,8=2\cdot 4,8=9,6{\text{[cm}}^2\text{]}$  

 

Odp.: Pole trójkąta ABD to 14,4 cm², a pole trójkąta BCD to 9,6 cm². 

---

b) Obliczmy stosunek promieni okręgów wpisanych w te trójkąty:

$P=p\cdot r$  

$r=\frac{P}{p}$  

gdzie:

$P$  -pole trójkąta

$p$  -połowa obwodu trójkąta

$r$  -długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

 

Trójkąty ABD i BCD maja takie same obwody, zatem:

$p_{ABD}=p_{BCD}$  

 

Wprowadźmy oznaczenia:

$r_1$  -długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABD

$r_2$  -długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt BCD

$\frac{r_1}{r_2}=\frac{\frac{P_{ABD}}{p}}{\frac{P_{BCD}}{p}}=\frac{P_{ABD}}{p}\cdot \frac{p}{P_{BCD}}=\frac{P_{ABD}}{P_{BCD}}=\frac{14,4}{9,6}=\frac{3}{2}$  

 

Odp.: Stosunek długości promieni okręgów wpisanych w te trójkąty wynosi 3:2.