II liceum

II technikum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Uwaga: Zapis&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e8d9cc8813174f115a368ea1e0a460ce8c43c6e9a47299b14fb7a6dcb7c9ae61_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e8d9cc8813174f115a368ea1e0a460ce8c43c6e9a47299b14fb7a6dcb7c9ae61_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oznacza, że liczba 5 jest pierwiastkiem 3-krotnym, czyli k określa krotność pierwiastka. <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/deab52260dea36688ba4f206fe92e8ea1d489fe9376054705690b1fbf0c0a66e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/deab52260dea36688ba4f206fe92e8ea1d489fe9376054705690b1fbf0c0a66e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8e4986eb47bdd5868e2c232a3de59fa8b14b10668e683d8a49fc6732c11457cd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8e4986eb47bdd5868e2c232a3de59fa8b14b10668e683d8a49fc6732c11457cd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a918667d605bc9e9933dfa53d6039c80b3adb4c18935bc6c2a9f3d51496da6f7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a918667d605bc9e9933dfa53d6039c80b3adb4c18935bc6c2a9f3d51496da6f7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b10e4445aaab06d166908992421cc46d1b80090b95aae9256174aaedaa33046f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b10e4445aaab06d166908992421cc46d1b80090b95aae9256174aaedaa33046f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a49ac745efa7a963b2d4696ca7a84377385cb7b18cec4ca5455969501025365b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a49ac745efa7a963b2d4696ca7a84377385cb7b18cec4ca5455969501025365b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczamy pierwiastki trójmianu x2+x-2: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/077f614a1f84291ae5c2dcb0dfe7c2bc7cd44e4c03bd6cc419ffd25f19814c08_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/077f614a1f84291ae5c2dcb0dfe7c2bc7cd44e4c03bd6cc419ffd25f19814c08_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ed664b318e17cd83164059e40ba05b1664733ebd270b7cd000e41c4c3902284f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ed664b318e17cd83164059e40ba05b1664733ebd270b7cd000e41c4c3902284f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eecbf1af3f4de1cb620d380f03306783a3d156628f064c7284308ed7ff82c8b6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eecbf1af3f4de1cb620d380f03306783a3d156628f064c7284308ed7ff82c8b6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Równanie przyjmuje postać:

Uwaga: Zapis&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e8d9cc8813174f115a368ea1e0a460ce8c43c6e9a47299b14fb7a6dcb7c9ae61_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e8d9cc8813174f115a368ea1e0a460ce8c43c6e9a47299b14fb7a6dcb7c9ae61_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oznacza, że liczba 5 jest pierwiastkiem 3-krotnym, czyli k określa krotność pierwiastka. <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f42dafd3787301721a5e1d16f6150cc7c599270369df786405072f9d99c73079_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f42dafd3787301721a5e1d16f6150cc7c599270369df786405072f9d99c73079_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odczytujemy pierwiastki wielomianu i ich krotności: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0ae7e4d75e9e7ef57c8287d9ac318bfe114a23e6963cf5d444de403a33a0f33c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0ae7e4d75e9e7ef57c8287d9ac318bfe114a23e6963cf5d444de403a33a0f33c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej&nbsp;x&nbsp;jest dodatni, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od góry. Pierwiastki wielomianu są jednokrotne, więc w każdym pierwiastku wielomian zmienia znak.

a) Pierwiastkami wielomianu u są liczby: -3, 0, 1, 2 oraz a4=-1, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95776a9ccbbe2892474152ccb68fdff455ccd684d8afb072b60b1dfe22c0c5ef_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95776a9ccbbe2892474152ccb68fdff455ccd684d8afb072b60b1dfe22c0c5ef_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Pierwiastkami wielomianu v są liczby: -3, -2, -1, 3 oraz a4=-1, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/db370d6a9ade7d3830c6e1ab70e057e2b95491b3b38d6f814614704d34a47d4b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/db370d6a9ade7d3830c6e1ab70e057e2b95491b3b38d6f814614704d34a47d4b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Pierwiastkami wielomianu w są liczby: -2, -1, 1, 2 oraz a4=-1, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c6404ffee49a29c9dce5e269a23d7168d332756d1a7c5a42f47a649a2cff1765_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c6404ffee49a29c9dce5e269a23d7168d332756d1a7c5a42f47a649a2cff1765_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr><hr> b) Pierwiastkami wielomianu u są liczby: -2, -1, 0, 1, 2 oraz a5=1, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef636849a04c2b3b8a560ccf04643ae6ee8cd89ea31ce7cd208a70a975f084c9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef636849a04c2b3b8a560ccf04643ae6ee8cd89ea31ce7cd208a70a975f084c9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Pierwiastkami wielomianu v są liczby: -3, -2, -1, 1, 3 oraz a5=1, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/495a9fe6996b6d5ada6904417b68e047be7c31ee477a8a054938ca4f37eaccf3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/495a9fe6996b6d5ada6904417b68e047be7c31ee477a8a054938ca4f37eaccf3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Pierwiastkami wielomianu w są liczby: -5, -4, -3, 2, -1&nbsp;oraz a5=1, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/06baad31fcff4e945321d1c06d3af62500da945e94513c54b61e42e47d6f3059_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/06baad31fcff4e945321d1c06d3af62500da945e94513c54b61e42e47d6f3059_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Uwaga: Zapis&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e8d9cc8813174f115a368ea1e0a460ce8c43c6e9a47299b14fb7a6dcb7c9ae61_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e8d9cc8813174f115a368ea1e0a460ce8c43c6e9a47299b14fb7a6dcb7c9ae61_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oznacza, że liczba 5 jest pierwiastkiem 3-krotnym, czyli k określa krotność pierwiastka. <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95a0b6898b12c43c06aa01352b5482a917ead886ee1618241fbf5c2045bc7fa6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95a0b6898b12c43c06aa01352b5482a917ead886ee1618241fbf5c2045bc7fa6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Oznaczmy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/22ce752cf8fd5f3f283ee3aca38be064c70cef11dc5744726c03bb4bb41187c9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/22ce752cf8fd5f3f283ee3aca38be064c70cef11dc5744726c03bb4bb41187c9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odczytujemy pierwiastki wielomianu&nbsp;w&nbsp;i ich krotności: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3be951ea0d9f96ded1350e41cddff4bb5c9d11f2554e7f6ef9c11d2d592561c6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3be951ea0d9f96ded1350e41cddff4bb5c9d11f2554e7f6ef9c11d2d592561c6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Rysujemy przybliżony wykres wielomianu&nbsp;w. Współczynnik przy&nbsp;x3&nbsp;jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Zakładamy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/015825664be89000d6a15c46590400f3dfdfb70843b97b25c876b9fc4dce0526_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/015825664be89000d6a15c46590400f3dfdfb70843b97b25c876b9fc4dce0526_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e1ffb68b3e61b14c77bb1b92353cf928829533a02336e3f6ac14b2dba3820b22_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e1ffb68b3e61b14c77bb1b92353cf928829533a02336e3f6ac14b2dba3820b22_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> a) Po zwiększeniu o x krawędzie prostopadłościanu

Komentarze