Uwaga: Zapis  $\underset{k=3}{x=5}$  oznacza, że liczba 5 jest pierwiastkiem 3-krotnym, czyli k określa krotność pierwiastka.

---

$\text{a)}{x}^3+3x^2-4=0$  

$x^3+2x^2+x^2-4=0$  

$x^2\left(x+2\right)+\left(x^2-4\right)=0$  

$x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0$  

$\left(x+2\right)\left(x^2+x-2\right)=0$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+x-2:

$\Delta =1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{-1-3}{2}=-2\text{lub}x=\frac{-1+3}{2}=1$  

Zatem:

$x^2+x-2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)$  

Równanie przyjmuje postać:

$\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$  

${\left(x+2\right)}^2\left(x-1\right)=0$  

Zatem:

$\underset{k=2}{x=-2}\text{lub}\underset{k=1}{x=1}$  

---

---

$\text{b)}{x}^3-7x^2+15x-9=0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w\left(x\right)=x^3-7x^2+15x-9$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -9, -3, -1, 1, 3, 9. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w\left(1\right)=1-7+15-9=0$  

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1.

Wykonujemy dzielenie w:(x-1), stosując schemat Hornera.

	1	-7	15	-9
1		1	-6	9
	1	-6	9	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-1\right)=x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right){\left(x-3\right)}^2$  

Równanie przyjmuje postać:

$\left(x-1\right){\left(x-3\right)}^2=0$  

Stąd:

$\underset{k=1}{x=1}\text{lub}\underset{k=2}{x=3}$  

---

---

$\text{c)}{x}^5-2x^4+9x^2=4-2x+\frac{9}{2}{x}^3$  

$x^5-2x^4-\frac{9}{2}{x}^3+9x^2+2x-4=0$  

$x^4\left(x-2\right)-\frac{9}{2}{x}^2\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)=0$  

$\left(x-2\right)\left(x^4-\frac{9}{2}{x}^2+2\right)=0$  

$x=2\text{lub}{x}^4-\frac{9}{2}{x}^2+2=0$  

Rozwiązujemy równanie czwartego stopnia.

$x^4-\frac{9}{2}{x}^2+2=0$  

Podstawiamy x²=t, t⩾0.

$t^2-\frac{9}{2}t+2=0$  

$\Delta =\frac{81}{4}-8=\frac{81}{4}-\frac{32}{4}=\frac{49}{4},\sqrt{\Delta }=\frac{7}{2}$  

$t=\frac{\frac{9}{2}-\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{2}{2}}{2}=\frac{1}{2}\ge 0\text{lub}t=\frac{\frac{9}{2}+\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{16}{2}}{2}=\frac{8}{2}=4\ge 0$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$x^2=\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\text{lub}{x}^2=4$  

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{lub}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{lub}x=2\text{lub}x=-2$  

Wcześniej otrzymaliśmy, że jednym z rozwiązań początkowego równania jest liczba 2. Zatem wszystkie rozwiązania początkowego równania i ich krotności to:

$\underset{k=1}{x=-2}\text{lub}\underset{k=1}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\text{lub}\underset{k=1}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\text{lub}\underset{k=2}{x=2}$  

---

---

$\text{d)}{x}^6-3x^4+3x^2-1=0$  

${\left(x^2\right)}^3-3\cdot {\left(x^2\right)}^2\cdot 1+3\cdot x^2\cdot 1^2-1^3=0$  

${\left(x^2-1\right)}^3=0$  

${\left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right]}^3=0$  

${\left(x-1\right)}^3{\left(x+1\right)}^3=0$  

Zatem:

$\underset{k=3}{x=-1}\text{lub}\underset{k=3}{x=1}$  

---

---

$\text{e)}{x}^3\left(x^2-x-3\right)=2x-5x^2$  

$x^5-x^4-3x^3+5x^2-2x=0$  

$x\left(x^4-x^3-3x^2+5x-2\right)=0$  

Rozwiązujemy równanie czwartego stopnia.

$x^4-x^3-3x^2+5x-2=0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w\left(x\right)=x^4-x^3-3x^2+5x-2$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w\left(1\right)=1-1-3+5-2=0$  

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1.

Wykonujemy dzielenie w:(x-1), stosując schemat Hornera.

	1	-1	-3	5	-2
1		1	0	-3	2
	1	0	-3	2	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-1\right)=x^3-3x+2=x^3-x-2x+2=x\left(x^2-1\right)-2\left(x-1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left[x\left(x+1\right)-2\right]=\left(x-1\right)\left(x^2+x-2\right)=\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+x-2:

$\Delta =1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{-1-3}{2}=-2\text{lub}x=\frac{-1+3}{2}=1$  

Zatem:

$x^2+x-2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)$  

Stąd:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot {\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)={\left(x-1\right)}^3\left(x+2\right)$  

Początkowe równanie przyjmuje postać:

$x\cdot w\left(x\right)=0$  

$x{\left(x-1\right)}^3\left(x+2\right)=0$  

Zatem:

$\underset{k=1}{x=-2}\text{lub}\underset{k=1}{x=0}\text{lub}\underset{k=3}{x=1}$  

---

---

$\text{f)}{x}^2\left(x^2+2x-6\right)=8\left(x-1\right)$  

$x^4+2x^3-6x^2=8x-8$  

$x^4+2x^3-6x^2-8x+8=0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w\left(x\right)=x^4+2x^3-6x^2-8x+8$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w\left(2\right)=32+2\cdot 8-6\cdot 4-8\cdot 2-8=32+16-24-16-8=0$  

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2.

Wykonujemy dzielenie w:(x-2), stosując schemat Hornera.

	1	2	-6	-8	8
2		2	8	4	-8
	1	4	2	-4	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-2\right)=x^3+4x^2+2x-4$  

Oznaczmy:

$q\left(x\right)=x^3+4x^2+2x-4$  

Dzielnikami wyrazu wolnego q są liczby -4, -2, -1, 1, 2, 4. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem q:

$q\left(-2\right)=-8+4\cdot 4+2\cdot \left(-2\right)-4=-8+16-4-4=0$  

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu q, więc wielomian q jest podzielny przez dwumian x+2.

Wykonujemy dzielenie q:(x+2), stosując schemat Hornera.

	1	4	2	-4
-2		-2	-4	4
	1	2	-2	0

---

Otrzymujemy:

$q\left(x\right):\left(x+2\right)=x^2+2x-2$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+2x-2:

$\Delta =4+8=12,\sqrt{\Delta }=2\sqrt{3}$  

$x=\frac{-2-2\sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3}\text{lub}x=\frac{-2+2\sqrt{3}}{2}=-1+\sqrt{3}$  

Zatem:

$x^2+2x-2=\left(x-\left(-1-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(-1+\sqrt{3}\right)\right)$  

$q\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-\left(-1-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(-1+\sqrt{3}\right)\right)$  

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot q\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)\left(x-\left(-1-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(-1+\sqrt{3}\right)\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-\left(-1-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(-1+\sqrt{3}\right)\right)$  

Równanie początkowe przyjmuje postać:

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-\left(-1-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(-1+\sqrt{3}\right)\right)=0$  

Zatem:

$\underset{k=1}{x=-1-\sqrt{3}}\text{lub}\underset{k=1}{x=-2}\text{lub}\underset{k=1}{x=-1+\sqrt{3}}\text{lub}\underset{k=1}{x=2}$