Podaj wzór wielomianu w trzeciego stopnia...- Zadanie 16: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Szukamy wielomianu postaci:

$w (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

a) Współczynniki wielomianu są kolejnymi liczbami parzystymi, więc możemy je zapisać następująco:

$a_{0} = 2 a$

$a_{1} = a_{0} + 2 = 2 a + 2$

$a_{2} = a_{1} + 2 = a_{0} + 4 = 2 a + 4$

$a_{3} = a_{2} + 2 = a_{0} + 6 = 2 a + 6$

gdzie

$a \in Z$

Suma współczynników wielomianu jest równa 36. Stąd:

$a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 36$

$2 a + 2 a + 2 + 2 a + 4 + 2 a + 6 = 36$

$8 a + 12 = 36$

$8 a = 24 ∣ : 8$

$a = 3$

Wówczas:

$a_{0} = 2 \cdot 3 = 6$

$a_{1} = 6 + 2 = 8$

$a_{2} = 8 + 2 = 10$

$a_{3} = 10 + 2 = 12$

Otrzymujemy:

$\underline{w (x) = 12 x^{3} + 10 x^{2} + 8 x + 6}$

b) Liczby nieparzyste są postaci: 2n+1, 2n+3, 2n+5...

Liczby nieparzyste podzielne przez 3 są postaci: 3(2n+1), 3(2n+3), 3(2n+5)...

Współczynniki wielomianu są kolejnymi liczbami nieparzystymi podzielnymi przez 3, więc możemy je zapisać następująco:

$a_{0} = 3 (2 a + 1)$

$a_{1} = 3 (2 a + 3)$

$a_{2} = 3 (2 a + 5)$

$a_{3} = 3 (2 a + 7)$

gdzie

$a \in Z$

Obliczamy sumę współczynników wielomianu w:

$a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3 (2 a + 1) + 3 (2 a + 3) + 3 (2 a + 5) + 3 (2 a + 7) = 3 (2 a + 1 + 2 a + 3 + 2 a + 5 + 2 a + 7) = 3 (8 a + 16) = 3 \cdot 8 (a + 2) = 24 (a + 2)$

Suma współczynników wielomianu jest liczbą dwucyfrową większą od 70, więc jest również mniejsza od 100. Muszą więc zachodzić nierówności:

${24 (a + 2) > 70 ∣ : 24 24 (a + 2) < 100 ∣ : 24$

${a + 2 > \frac{35}{12} a + 2 < \frac{25}{6}$

${a + \frac{24}{12} > \frac{35}{12} a + \frac{12}{6} < \frac{25}{6}$

${a > \frac{11}{12} a < \frac{13}{6}$

${a > \frac{11}{12} a < 2 \frac{1}{6}$

Zatem:

$a \in (\frac{11}{12}, 2 \frac{1}{6})$

Po uwzględnieniu warunku a ∈ Z otrzymujemy:

$a \in {1, 2}$

$dla a = 1 :$

$a_{0} = 3 (2 \cdot 1 + 1) = 3 \cdot (2 + 1) = 3 \cdot 3 = 9$

$a_{1} = 3 (2 \cdot 1 + 3) = 3 \cdot (2 + 3) = 3 \cdot 5 = 15$

$a_{2} = 3 (2 \cdot 1 + 5) = 3 \cdot (2 + 5) = 3 \cdot 7 = 21$

$a_{3} = 3 (2 \cdot 1 + 7) = 3 \cdot (2 + 7) = 3 \cdot 9 = 27$

$\underline{w (x) = 27 x^{3} + 21 x^{2} + 15 x + 9}$

$dla a = 2 :$

$a_{0} = 3 (2 \cdot 2 + 1) = 3 \cdot (4 + 1) = 3 \cdot 5 = 15$

$a_{1} = 3 (2 \cdot 2 + 3) = 3 \cdot (4 + 3) = 3 \cdot 7 = 21$

$a_{2} = 3 (2 \cdot 2 + 5) = 3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 9 = 27$

$a_{3} = 3 (2 \cdot 2 + 7) = 3 \cdot (4 + 7) = 3 \cdot 11 = 33$

$\underline{w (x) = 33 x^{3} + 27 x^{2} + 21 x + 15}$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste.

Premium

13:42

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wielomianowe

Premium

9:27

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.