Oznaczmy:

$f\left(x\right)=\frac{a}{x}$  

a) Sprawdzamy, dla jakiej wartości a do wykresu funkcji f należy punkt A:

$f\left(4\right)=8$  

$\frac{a}{4}=8\mid \cdot 4$  

$a=32$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\frac{32}{x}$  

Sprawdzamy, czy do wykresu funkcji f należy punkt B:

$f\left(2\right)=\frac{32}{2}=16\ne 8$  

Punkty A i B nie należą do wykresu tej samej hiperboli.

b) Sprawdzamy, dla jakiej wartości a do wykresu funkcji f należy punkt A:

$f\left(2\frac{1}{2}\right)=1\frac{1}{5}$  

$\frac{a}{2\frac{1}{2}}=1\frac{1}{5}$  

$\frac{a}{\frac{5}{2}}=\frac{6}{5}\mid \cdot \frac{5}{2}$  

$a=\frac{6}{2}$  

$a=3$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\frac{3}{x}$  

Sprawdzamy, czy do wykresu funkcji f należy punkt B:

$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{\frac{2}{3}}=3\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}$  

Punkty A i B należą do wykresu tej samej hiperboli.

Wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\frac{3}{x},x\in \mathbf{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Obliczamy wartości funkcji dla kilku argumentów z dziedziny i przedstawiamy je w tabeli:

Szkicujemy hiperbolę y=f(x):

c) Sprawdzamy, dla jakiej wartości a do wykresu funkcji f należy punkt A:

$f\left(3-\sqrt{8}\right)=2\sqrt{2}+3$  

$\frac{a}{3-\sqrt{8}}=2\sqrt{2}+3\mid \cdot \left(3-\sqrt{8}\right)$  

$a=\left(2\sqrt{2}+3\right)\left(3-\sqrt{8}\right)=\left(3+\sqrt{8}\right)\left(3-\sqrt{8}\right)=3^2-{\left(\sqrt{8}\right)}^2=9-8=1$  

$a=1$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$  

Sprawdzamy, czy do wykresu funkcji f należy punkt B:

$f\left(\sqrt{8}\right)=\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{8}}\cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{8}}{8}=\frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}$  

Punkty A i B należą do wykresu tej samej hiperboli.

Wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x},x\in \mathbf{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Obliczamy wartości funkcji dla kilku argumentów z dziedziny i przedstawiamy je w tabeli:

Szkicujemy hiperbolę y=f(x):