Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że trójkąt ABC to trójkąt równoramienny, zatem:

 

$\left|AC\right|=\left|BC\right|$

oraz

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|$  

 

Niech odcinki AE i BD będą wysokościami poprowadzonymi odpowiednio do boków BC i AC. 

Oznaczmy

$\left|BD\right|=h_1$

$\left|AE\right|=h_2$   

 

Zauważmy, że aby udowodnić, że   $h_1=h_2$   wystarczy pokazać, że trójkąty ABD i ABE są przystające. 

Wiemy, że

$\left|\sphericalangle ADB\right|=\left|\sphericalangle AEB\right|={90}^{\circ }$

ponieważ jest to trójkąt równoramienny, to ma równe kąty przy podstawie, zatem

$\left|\sphericalangle DAB\right|=\left|\sphericalangle EBA\right|=\alpha$

dwa kąty w tych trójkątach są równej miary, czyli z tego dostajemy, że również pozostałe kąty muszą być równe. czyli

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle BAE\right|=90-\alpha$

 

Zauważmy, że w trójkącie ABD przy boku AB leżą kąty o mierze α i 90° - α.  

W trójkącie ABE przy tym samym boku AB leżą katy o tej samej mierze α i 90° - α. 

Otrzymaliśmy więc, że w trójkątach ABD i ABE przy boku o tej samej długości leżą kąty o tej samej mierze,

czyli na podstawie cechy przystawania kąt-bok-kąt (kbk) te trójkąty są przystające. 

Skoro są przystające to w szczególności odpowiednie boki są tej samej długości, czyli  

$\left|BD\right|=\left|AE\right|$  

zatem

  $h_1=h_2$   

Co należało pokazać.