$x^2+\left(p-1\right)x+p+3=0$  

Zauważmy, że równania x₁, x₂ mogą być takie same.

Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy:

$\Delta \ge 0$  

${\left(p-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(p+3\right)\ge 0$  

$p^2-2p+1-4p-12\ge 0$  

$p^2-6p-11\ge 0$  

${\Delta }_p={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-11\right)=36+44=80$  

$p_1=\frac{6-\sqrt{80}}{2}=\frac{6-4\sqrt{5}}{2}=3-2\sqrt{5}$  

$p_2=\frac{6+\sqrt{80}}{2}=\frac{6+4\sqrt{5}}{2}=3+2\sqrt{5}$  

Zatem otrzymujemy:

$p\in (-\infty ,3-2\sqrt{5}⟩\cup ⟨3+2\sqrt{5},+\infty )$  

 

Zauważmy, że:

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=p+3$  

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\left(p-1\right)$  

---

$\text{a)}$  

$x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2-3x_1{x}_2\le 0$  

$x_1{x}_2\left(x_1+x_2-3\right)\le 0$  

$\left(p+3\right)\left(-p+1-3\right)\le 0$  

$\left(p+3\right)\left(-p-2\right)\le 0$  

$\left(p+3\right)\left(p+2\right)\ge 0$  

$p\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨-2,+\infty )$  

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$p\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨-2,3-2\sqrt{5}⟩\cup ⟨3+2\sqrt{5},+\infty )$  

---

$\text{b)}$  

$\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{5}{\mid }^2$  

${\left|x_1-x_2\right|}^2=5$  

${\left(x_1-x_2\right)}^2=5$  

$x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=5$  

${\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=5$  

${\left(-\left(p-1\right)\right)}^2-4\left(p+3\right)=5$  

${\left(p-1\right)}^2-4p-12-5=0$  

$p^2-2p+1-4p-17=0$  

$p^2-6p-16=0$  

${\Delta }_p={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-16\right)=36+64=100$  

$p_1=\frac{6-10}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$p_2=\frac{6+10}{2}=\frac{16}{2}=8$