$\text{a)}$  

Aby równanie miało dokładnie dwa rozwiązania muszą być spełnione warunki:

$k+2\ne 0$  

$k\ne -2$  

oraz

$\Delta >0$  

${\left(-k\right)}^2-4\left(k+2\right)\cdot k>0$  

$k^2-4k^2-8k>0$  

$-3k^2-8k>0$  

$-k\left(3k+8\right)>0$  

$k\in \left(-\frac{8}{3},0\right)$  

$k\in \left(-2\frac{2}{3},0\right)$  

 

Łącząc powyższe warunki otrzymujemy:

$k\in \left(-2\frac{2}{3},-2\right)\cup \left(-2,0\right)$  

---

$\text{b)}$  

Przypadek I.

Jest to równanie liniowe.

Gdy  $2k-1=0$   czyli $k=\frac{1}{2}$  otrzymujemy:

  $0x^2-2x+\frac{1}{2}=0$  

$-2x+\frac{1}{2}=0$  

$-2x=-\frac{1}{2}$  

$x=\frac{1}{4}$  

 

Przypadek II.

Jest to równanie kwadratowe.

Gdy  $2k-1\ne 0$   czyli  $k\ne \frac{1}{2}$   równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy:

$\Delta =0$  

${\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(2k-1\right)\cdot k=0$  

$4-8k^2+4k=0\mid :\left(-4\right)$  

$2k^2-k-1=0$  

${\Delta }_k={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$  

$k_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$k_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$  

 

Łącząc powyższe przypadki otrzymujemy:

$k=\frac{1}{2}\vee k=-\frac{1}{2}\vee k=1$  

---

$\text{c)}$  

Przypadek I.

Jest to równanie liniowe.

Gdy  $k=0$   otrzymujemy:

$0\cdot x^2-4x+0+3=0$  

$-4x+3=0$  

Zatem w tym przypadku równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

 

Przypadek II.

Jest to równanie kwadratowe.

Gdy  $k\ne 0$   otrzymujemy:

$k{x}^2-4x+k+3=0$  

Aby równanie nie miało rozwiązań musi być spełnione:

$\Delta <0$  

${\left(-4\right)}^2-4\cdot k\cdot \left(k+3\right)<0$  

$16-4k^2-12k<0\mid :\left(-4\right)$  

$k^2+3k-4>0$  

${\Delta }_k=3^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$k_1=\frac{-3-5}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$k_2=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Zatem otrzymujemy:

$k\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

 

Łącząc powyższe przypadki otrzymujemy:

$k\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

---

$\text{d)}$  

Przypadek I.

Jest to równanie liniowe.

Zatem  $4-k^2=0$   czyli  $k=2\vee k=-2.$  

 

Gdy  $k=2$   otrzymujemy:

$0x^2+\left(2-2\right)x+3=0$  

$3=0$  

Sprzeczność.

 

Gdy  $k=-2$   otrzymujemy:

$0x^2+\left(-2-2\right)x+3=0$  

$-4x+3=0$  

Zatem równanie ma rozwiązanie.

 

Przypadek II.

Jest to równanie kwadratowe.

Zatem  $k\in \mathbb{R}\text{}\left\{-2,2\right\}.$  

Równanie ma rozwiązanie, gdy:

$\Delta \ge 0$  

${\left(k-2\right)}^2-4\left(4-k^2\right)\cdot 3\ge 0$  

$k^2-4k+4-48+12k^2\ge 0$  

$13k^2-4k-44\ge 0$  

${\Delta }_k={\left(-4\right)}^2-4\cdot 13\cdot \left(-44\right)=16+2288=2304$  

$\sqrt{{\Delta }_k}=\sqrt{2304}=48$  

$k_1=\frac{4-48}{2\cdot 13}=\frac{-44}{26}=-\frac{22}{13}=-1\frac{9}{13}$  

$k_2=\frac{4+48}{2\cdot 13}=\frac{52}{26}=2$  

Wiemy, że  $k\ne -2,k\ne 2$  

Zatem otrzymujemy:

$k\in \left(-\infty ,-2\right)\cup (-2,1\frac{9}{13}⟩\cup \left(2,+\infty \right)$  

 

Łącząc przypadek I i II otrzymujemy:

$k\in (-\infty ,-1\frac{9}{13}⟩\cup \left(2,+\infty \right)$