Wykonajmy szkic pomocniczy:

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ADC:

${10}^2={\left(3x\right)}^2+{17}^2-2\cdot 3x\cdot 17\cdot \cos \alpha$  

$100=9x^2+289-102x\cdot \cos \alpha$  

$-9x^2-189=-102x\cos \alpha \mid :\left(-102x\right)$  

$\frac{9x^2+189}{102x}=\cos \alpha$   

$\frac{3x^2+63}{34x}=\cos \alpha$  

 

 

---

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC:

${10}^2={\left(7x\right)}^2+{17}^2-2\cdot 7x\cdot 17\cdot \cos \alpha$  

$100=49x^2+289-238x\cos \alpha$  

$-49x^2-189=-238x\cos \alpha \mid :\left(-238\right)$   

$\frac{49x^2+189}{238x}=\cos \alpha$  

$\frac{7x^2+27}{34x}=\cos \alpha$  

 

---

Zapiszmy równanie i wyznaczmy x: 

$\frac{3x^2+63}{34x}=\frac{7x^2+27}{34x}\mid \cdot 34x$  

 

$3x^2+63=7x^2+27$  

 

$36=4x^2$  

 

$9=x^2$  

 

$x=3$    

 

---

$\left|AB\right|=3x+4x=7x=7\cdot 3=21$  

 

$\cos \alpha =\frac{3x^2+63}{34x}=\frac{3\cdot 3^2+63}{34\cdot 3}=\frac{27+63}{102}=\frac{90}{102}=\frac{15}{17}$   

 

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{15}{17}\right)}^2=1$  

 

${\sin }^2\alpha +\frac{225}{289}=1$  

 

${\sin }^2\alpha =\frac{64}{289}$  

 

$\sin \alpha =\frac{8}{17}$   

 

---

$P=\frac{1}{2}\cdot 21\cdot 17\cdot \frac{8}{17}=84$