$\text{a)}\left|x^3-3x+1\right|\le 1$  

Z własności wartości bezwzględnej.

$\left(1\right)x^3-3x+1\le 1\text{i}\left(2\right)x^3-3x+1\ge -1$  

---

Rozwiązujemy nierówność (1):

$x^3-3x+1\le 1$  

$x^3-3x\le 0$  

$x\left(x^2-3\right)\le 0$  

$x\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\le 0$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

 

$x\in (-\infty ,-\sqrt{3}⟩\cup ⟨0,\sqrt{3}⟩$  

---

Rozwiązujemy nierówność (2):

$x^3-3x+1\ge -1$  

$x^3-3x+2\ge 0$

Oznaczamy:

  $W\left(x\right)=x^3-3x+2$  

Zaczniemy od wyznaczenia pierwiastków wielomianu W(x). 

Wiemy, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu W(x) są liczby: -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-3\cdot \left(-2\right)+2=-8+6+2=0$  

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+2), stosując schemat Hornera.

	1	0	-3	2
-2	1	-2	1	0

W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-1) otrzymaliśmy iloraz P(x)=x²-2x+1.

Rozłóżmy wielomian P(x) na czynniki:

$P\left(x\right)=x^2-2x+1={\left(x-1\right)}^2$  

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x+2\right){\left(x-1\right)}^2$  

Pierwiastki wielomianu W(x):

$x=-2\text{lub}x=1$  

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)\ge 0\iff x\in ⟨-2,+\infty )$  

$x\in ⟨-2,+\infty )$  

---

Łącząc rozwiązania nierówności (1) i (2), otrzymujemy:

$x\in (-\infty ,-\sqrt{3}⟩\cup ⟨0,\sqrt{3}⟩\text{i}x\in ⟨-2,+\infty )$  

$x\in ⟨-2,-\sqrt{3}⟩\cup ⟨0,\sqrt{3}⟩$

 

---

---

$\text{b)}\left|x^3-2x^2+x-1\right|>1$  

Z własności wartości bezwzględnej.

$\left(1\right)x^3-2x^2+x-1>1\text{lub}\left(2\right)x^3-2x^2+x-1<-1$  

---

Rozwiązujemy nierówność (1):

$x^3-2x^2+x-1>1$  

$x^3-2x^2+x-2>0$  

$x^2\left(x-2\right)+\left(x-2\right)>0$  

$\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)>0\mid :\left(x^2+2\right)>0$  

$x-2>0$  

$x>2$  

$x\in \left(2,+\infty \right)$  

---

Rozwiązujemy nierówność (2):

$x^3-2x^2+x-1<-1$  

$x^3-2x^2+x<0$  

$x\left(x^2-2x+1\right)<0$  

$x{\left(x-1\right)}^2<0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)$  

---

Łącząc rozwiązania nierówności (1) i (2), otrzymujemy:

$x\in \left(2,+\infty \right)\text{lub}x\in \left(-\infty ,0\right)$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

---

$\text{c)}\left|x\right|\left(x^2-7\right)+6>0$  

$\left|x\right|\left({\left|x\right|}^2-7\right)+6>0$  

---

Podstawiamy |x|=t, t≥0.

$t\left(t^2-7\right)+6>0$  

$t^3-7t+6>0$  

$t^3-t-6t+6>0$  

$t\left(t^2-1\right)-6\left(t-1\right)>0$  

$t\left(t-1\right)\left(t+1\right)-6\left(t-1\right)>0$  

$\left(t-1\right)\left[t\left(t+1\right)-6\right]>0$  

$\left(t-1\right)\left(t^2+t-6\right)>0$  

$\left(t-1\right)\left(t-2\right)\left(t+3\right)>0$  

$t\in \left(-3,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

Powyższy zbiór możemy zapisać następująco:

$\left(\mathrm{tg}t-3\text{i}t<1\right)\text{lub}\mathrm{tg}t2$  

---

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\left(\left|x\right|>-3\text{i}\left|x\right|<1\right)\text{lub}\left|x\right|>2$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$\left[\left(x>-3\text{lub}x<3\right)\text{i}\left(x<1\text{i}x>-1\right)\right]\text{lub}\left(x>2\text{lub}x<-2\right)$  

$\left[x\in \mathbf{R}\text{i}x\in \left(-1,1\right)\right]\text{lub}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$x\in \left(-1,1\right)\text{lub}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

---

$\text{d)}{x}^3+2x^2>4\left|x+2\right|$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+2\right|=\{\begin{array}{l}x+2\text{dla}x\ge -2\\ -\left(x+2\right)\text{dla}x<-2\end{array}$  

---

Rozwiązujemy nierówność dla x≥-2:

$x^3+2x^2>4\left(x+2\right)$  

$x^3+2x^2-4\left(x+2\right)>0$  

$x^2\left(x+2\right)-4\left(x+2\right)>0$  

$\left(x+2\right)\left(x^2-4\right)>0$  

$\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)>0$  

${\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)>0$  

$x\in \left(2,+\infty \right)$  

---

Rozwiązujemy nierówność dla x<-2:

$x^3+2x^2>-4\left(x+2\right)$  

$x^3+2x^2+4\left(x+2\right)>0$  

$x^2\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)>0$  

$\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)>0\mid :\left(x^2+4\right)>0$  

$x+2>0$  

$x>-2$  

Ponieważ rozwiązujemy nierówność dla x<-2, to zbiorem rozwiązań nierówności (2) jest zbiór pusty.

---

Łącząc rozwiązania nierówności dla x≥-2  oraz dla x<-2, otrzymujemy:

$x\in \left(2,+\infty \right)$